Основное содержание

Физика

Course: Физика > Модуль 1

Урок 3: Ускорение

Что представляют собой графики зависимости скорости от времени?

Как анализировать графики, которые связывают скорость и время с ускорением и перемещением.

Что показывает вертикальная ось на графике скорости?

Вертикальная ось соответствует скорости объекта. Это, наверное, и так очевидно, но имейте в виду: графики скорости, как правило, достаточно сложны для восприятия. Многие привыкают находить скорость по угловому коэффициенту, как это делается на графике положения, но забывают, что для графиков скорости значение на вертикальной оси и есть скорость.

Попробуйте переместить точку на приведённом ниже графике по горизонтали, чтобы выбрать разное время и увидеть, как меняется скорость.

Проверка. Определите по изображённому выше графику скорость объекта в момент времени t, equals, 4, start text, space, с, е, к, у, н, д, ы, end text.

[Показать ответ.]

Что означает угловой коэффициент графика скорости?

Угловой коэффициент графика скорости показывает ускорение объекта. Таким образом, значение углового коэффициента в некой точке графика отражает ускорение объекта в данный конкретный момент.

Угловой коэффициент графика скорости представлен в виде следующей формулы:

\text{угловой коэффициент графика}=\dfrac{\text{изменение функции}}{\text{изменение аргумента}}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, space, г, р, а, ф, и, к, а, end text, equals, start fraction, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, ф, у, н, к, ц, и, и, end text, divided by, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, а, р, г, у, м, е, н, т, а, end text, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, minus, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

Поскольку start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction — это определение ускорения, тогда значение углового коэффициента должно равняться ускорению объекта в данный конкретный момент.

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start text, у, с, к, о, р, е, н, и, е, end text

Это значит, что если значение углового коэффициента достаточно большое, то есть график идёт круто, объект будет быстро менять скорость. Когда график достаточно пологий, то есть угловой коэффициент небольшой, объект изменяет свою скорость не так быстро. Из этого также следует, что если угловой коэффициент отрицательный, то есть график направлен вниз, то ускорение также отрицательно, а если угловой коэффициент положительный, то есть график направлен вверх, то ускорение также положительно.

Попробуйте перемещать точку по горизонтали на примере показанного ниже графика скорости, чтобы узнать, чему равен угловой коэффициент касательной к графику в каждый конкретный момент времени.

Угловой коэффициент касательной к графику положителен на интервале от t, equals, 0, start text, space, с, end text до t, equals, 2, start text, space, с, end text, то есть график направлен вверх. Это значит, что ускорение на этом промежутке также положительно.

Угловой коэффициент касательной к графику отрицателен на интервале от t, equals, 2, start text, space, с, end text до t, equals, 8, start text, space, с, end text поскольку график направлен вниз. Это означает, что ускорение на этом промежутке также отрицательно.

В точке t, equals, 2, start text, space, с, end text касательная к графику проходит горизонтально, то есть её угловой коэффициент равен нулю. Это значит, что в этот момент ускорение равно нулю.

Проверка. Что происходит с объектом, движение которого описывается приведенным выше графиком, в момент времени t, equals, 4, start text, space, с, end text. Он ускоряется или замедляется?

[Показать ответ.]

Что означает площадь под графиком скорости?

Площадь под графиком скорости отображает перемещение объекта. Чтобы понять, почему так, рассмотрим график движения объекта, перемещающегося с постоянной скоростью 6 метров в секунду в течение 5 секунд.

Чтобы найти, на сколько объект переместился за этот промежуток времени, воспользуемся формулой

delta, x, equals, v, delta, t, equals, left parenthesis, 6, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, left parenthesis, 5, start text, space, с, end text, right parenthesis, equals, 30, start text, space, м, end text

получается, что перемещение равно 30, start text, space, м, end text.

Теперь мы покажем, что вычисление по формуле эквивалентно нахождению площади под кривой. Рассмотрим прямоугольник, ограниченный графиком, как показано ниже.

Площадь прямоугольника находится перемножением его высоты, то есть 6 м/с, на ширину, на 5 с, в результате получится

start text, space, п, л, о, щ, а, д, ь, end text, equals, start text, в, ы, с, о, т, а, end text, times, start text, ш, и, р, и, н, а, end text, equals, 6, start text, space, м, slash, с, end text, times, 5, start text, space, с, end text, equals, 30, start text, space, м, end text

Тот же ответ мы получили, вычисляя перемещение по формуле. Таким образом, площадь под графиком скорости, вне зависимости от его формы, будет равняться перемещению за указанный временной интервал.

[Почему это верно даже тогда, когда скорость не постоянна?]

start text, п, л, о, щ, а, д, ь, space, п, о, д, space, к, р, и, в, о, й, end text, equals, start text, п, е, р, е, м, е, щ, е, н, и, е, end text

[Стойте, но разве площадь не всегда положительна? А что если кривая находится ниже оси времени?]

Как выглядят примеры решения задач с графиком зависимости скорости от времени?

Пример 1. Изменение скорости виндсёрфера

Виндсёрфер движется вдоль прямой, и его движение определяется графиком скорости, приведённым ниже.

Укажите все верные высказывания о скорости и ускорении виндсёрфера.

(A) Скорость возрастает.
(B) Ускорение возрастает.
(C) Скорость уменьшается.
(D) Ускорение уменьшается.

Верные ответы: A — скорость возрастает, D — ускорение уменьшается.

Ускорение — это угловой коэффициент касательной к графику. Поскольку график выравнивается и касательная становится всё менее крутой, это значит, что её угловой коэффициент и ускорение виндсёрфера уменьшаются.

Это может показаться нелогичным, но виндсёрфер ускоряется на протяжении всего временного интервала. Значение функции скорости растёт на всём представленном временном интервале, хотя величина изменения скорости в секунду со временем уменьшается. В течение первых 4,5 секунд скорость увеличилась с 0 м/с до приблизительно 5 м/с, а в течение следующих 4,5 секунды скорость увеличилась с 5 м/с всего лишь до 7 м/с.

Пример 2. Ускорение карта

Движение карта показано ниже на графике зависимости скорости от времени.

A. Чему равно ускорение карта в момент времени t, equals, 4, start text, space, с, end text?
B. Чему равно перемещение карта за интервал от t, equals, 0, start text, space, с, end text до t, equals, 7, start text, space, с, end text?

A. Находим ускорение карта в момент времени t, equals, 4, start text, space, с, end text

Мы можем найти ускорение в момент времени t, equals, 4, start text, space, с, end text, вычислив угловой коэффициент графика в точке t, equals, 4, start text, space, с, end text.

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, ф, у, н, к, ц, и, и, end text, divided by, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, а, р, г, у, м, е, н, т, а, end text, end fraction

Для вычисления углового коэффициента мы выберем две точки: начало (3, start text, space, с, end text, comma, 6, start text, space, м, slash, с, end text) и конец (7, start text, space, с, end text, comma, 0, start text, space, м, slash, с, end text) диагонального фрагмента графика. Подставив эти точки в формулу углового коэффициента, мы получим

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{0\text{ м/с}-6\text{ м/с}}{7\text{ с}-3\text{ с}}=\dfrac{-6\text{ м/с}}{4\text{ с}}=-1{,}5\dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, v, start subscript, 2, end subscript, minus, v, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, 0, start text, space, м, slash, с, end text, minus, 6, start text, space, м, slash, с, end text, divided by, 7, start text, space, с, end text, minus, 3, start text, space, с, end text, end fraction, equals, start fraction, minus, 6, start text, space, м, slash, с, end text, divided by, 4, start text, space, с, end text, end fraction, equals, minus, 1, comma, 5, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction

start text, у, с, к, о, р, е, н, и, е, end text, equals, minus, 1, comma, 5, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction

B. Вычисление перемещение карта на временном интервале от t, equals, 0, start text, space, с, end text до t, equals, 7, start text, space, с, end text

Чтобы определить перемещение карта, мы можем найти площадь фигуры под графиком скорости. Эту фигуру можно разбить на прямоугольник (между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 3, start text, space, с, end text) и треугольник (между t, equals, 3, start text, space, с, end text и t, equals, 7, start text, space, с, end text). Вычислив площадь этих двух фигур и сложив их, мы сможем найти общее перемещение.

Площадь прямоугольника находится как

start text, п, л, о, щ, а, д, ь, end text, equals, h, times, w, equals, 6, start text, space, м, slash, с, end text, times, 3, start text, space, с, end text, equals, 18, start text, space, м, end text

Площадь треугольника находится как

start text, п, л, о, щ, а, д, ь, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 4, start text, space, с, end text, right parenthesis, left parenthesis, 6, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, equals, 12, start text, space, м, end text

Сложив эти две площади, мы получим итоговое перемещение.

start text, о, б, щ, а, я, space, п, л, о, щ, а, д, ь, end text, equals, 18, start text, space, м, end text, plus, 12, start text, space, м, end text, equals, 30, start text, space, м, end text

start text, и, т, о, г, о, в, о, е, space, п, е, р, е, м, е, щ, е, н, и, е, end text, equals, 30, start text, space, м, end text

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Сортировать по:

Пока нет ни одной записи.

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.