Основное содержание

Физика

Course: Физика > Модуль 1

Урок 2: Перемещение, скорость и время

Что такое графики зависимости положения в пространстве от времени?

Посмотрите, что мы можем узнать из графиков зависимости положение от времени.

Какую полезную информацию мы можем получить из графиков положения в зависимости от времени?

Многие чувствуют себя при работе с графиками не лучшим образом: это смесь чувства тревоги и сильного желания закончить этот опыт как можно скорее. Но в графиках положения есть своя красота, это эффективный и достаточно компактный способ визуального представления достаточно обширной информации о движении объекта.

Что показывает вертикальная ось графика положения объекта?

Вертикальная ось показывает положение объекта. Например, на графике, представленном ниже, можно узнать положение объекта в метрах в определенное время.

Для этого необходимо сдвинуть точку по горизонтали, чтобы выбрать другое время и тогда можно увидеть, как изменится положение по вертикальной оси.

Самопроверка. В какой точке находился объект в момент времени t, equals, 5 секунд, согласно приведенному выше графику?

[Показать ответ.]

Что означает угловой коэффициент касательной к графику положения?

Угловой коэффициент касательной к графику положения равняется скорости объекта. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику в данной конкретной точке соответствует мгновенной скорости в этот момент времени.

Чтобы понять почему так происходит, давайте рассмотрим угловой коэффициент на графике, показанном ниже:

[Подождите, почему вертикальная ось обозначена за x?]

Угловой коэффициент касательной этого графика выглядит следующим образом

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{\text{изменение по вертикали}}{\text{изменение по горизонтали}}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, п, о, space, в, е, р, т, и, к, а, л, и, end text, divided by, start text, и, з, м, е, н, е, н, и, е, space, п, о, space, г, о, р, и, з, о, н, т, а, л, и, end text, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction.

Формула углового коэффициента совпадает с определением скорости: v, equals, start fraction, delta, x, divided by, delta, t, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction. Таким образом, угловой коэффициент графика положения должен быть равен скорости объекта.

Это утверждение остаётся верным, даже если касательная к графику меняется. Например, на изображённом ниже графике зависимости положения от времени красная линия — это касательная в данный конкретный момент времени. Попробуйте сдвинуть точку на этом графике по горизонтали, чтобы увидеть, как выглядит угловой коэффициент касательной в каждый конкретный момент времени.

Угловой коэффициент касательной между точками t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 3, start text, space, с, end text положителен, поскольку график идёт вверх. Это значит, что скорость объекта положительна, и объект движется в положительном направлении.

Угловой коэффициент касательной между точками t, equals, 3, start text, space, с, end text и t, equals, 9, start text, space, с, end text отрицателен, поскольку график идёт вниз. Это значит, что скорость объекта отрицательна, и объект движется в отрицательном направлении.

В момент времени t, equals, 3, start text, space, с, end text угловой коэффициент равен нулю, поскольку касательная к графику горизонтальна. Это значит, что в этот момент скорость равна нулю, и объект находится в состоянии покоя.

Самопроверка. Чему равна скорость объекта в момент времени t, equals, 9, start text, space, с, end text, согласно показанному выше графику?

[Показать ответ.]

Необходимо помнить, что угловой коэффициент касательной к графику положения в некий момент времени даёт вам мгновенную скорость в этот же момент времени. Средний угловой коэффициент графика между двумя точками даст вам среднюю скорость на этом промежутке времени. Мгновенная скорость может не равняться средней. Однако, если угловой коэффициент касательной к графику на неком промежутке остаётся постоянным (то есть график представляет собой прямую), тогда мгновенная скорость будет равна средней скорости между двумя любыми точками этого отрезка.

[Почему на отрезке линейного графика мгновенная скорость равна средней?]

Что означает кривизна графика положения?

Взгляните на график ниже. Он представляет собой кривую, поскольку не состоит из отрезков прямых. Если график положения искривлён, это значит, что угловой коэффициент касательной у него меняется, а следовательно, меняется и скорость. Изменение скорости подразумевает наличие ускорения. Таким образом, кривизна графика положения показывает, что объект движется с ускорением, его скорость и угловой коэффициент касательной изменяются*.

На приведенном ниже графике попробуйте переместиться по горизонтали, чтобы увидеть как меняется угловой коэффициент касательной. Первый «горб» между 1, start text, space, с, end text и 5, start text, space, с, end text соответствует отрицательному ускорению, поскольку угловой коэффициент касательной меняется с положительного на отрицательный. Второй «горб» между 7, start text, space, с, end text и 11, start text, space, с, end text соответствует положительному ускорению, поскольку угловой коэффициент касательной меняется с отрицательного на положительный.

Самопроверка. Чему равно ускорение объекта в момент времени t, equals, 6, start text, space, с, end text, согласно показанному выше графику?

[Показать ответ.]

Подводя итог, если кривизна графика положения выглядит как перевернутая миска, ускорение будет отрицательным. Если кривизна выглядит как *миска, стоящая на столе, ускорение будет положительным *. Вот способ запомнить это: если ваша миска перевернута, вся еда из неё выпадет, и мы это воспримем отрицательно. Если миска стоит на столе, то вся ваша еда останется в ней, мы воспринимаем это положительно.

[Означает ли это, что перевернутая миска всегда подразумевает замедление?]

Как выглядят решения задач с графиками зависимости положения от времени?

Пример 1. Голодный морж

На графике ниже показано перемещение голодного моржа вперёд и назад в поисках пищи. Здесь положение моржа x — это функция от времени t.

Чему равнялась мгновенная скорость моржа в точках 2, start text, space, с, end text, 5, start text, space, с, end text и 8, start text, space, с, end text?

Найдём скорость в точке 2, start text, space, с, end text:

Чтобы найти скорость моржа в момент времени t, equals, 2, start text, space, с, end text, мы должны найти угловой коэффициент графика в точке t, equals, 2, start text, space, с, end text:

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента.)}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, в, о, с, п, о, л, ь, з, у, е, м, с, я, space, ф, о, р, м, у, л, о, й, space, д, л, я, space, в, ы, ч, и, с, л, е, н, и, я, space, у, г, л, о, в, о, г, о, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, а, point, right parenthesis, end text

Теперь мы можем выбрать любые две точки, лежащие на отрезке графика от 0, start text, space, с, end text до 4, start text, space, с, end text, где угловой коэффициент остаётся постоянным. Например можно взять точки left parenthesis, 0, start text, space, с, end text, comma, 1, start text, space, м, end text, right parenthesis и left parenthesis, 4, start text, space, с, end text, comma, 3, start text, space, м, end text, right parenthesis. Более поздний момент времени подставляется в формулу как точка 2, а более ранний — как точка 1.

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{3\text{ м}-1\text{ м}}{4\text{ с}-0\text{ с}}\qquad \text{(Выбираем две точки и подставляем значения x в числитель, а значения t — в знаменатель.)}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, 3, start text, space, м, end text, minus, 1, start text, space, м, end text, divided by, 4, start text, space, с, end text, minus, 0, start text, space, с, end text, end fraction, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, д, в, е, space, т, о, ч, к, и, space, и, space, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, space, x, space, в, space, ч, и, с, л, и, т, е, л, ь, comma, space, а, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, space, t, space, —, space, в, space, з, н, а, м, е, н, а, т, е, л, ь, point, right parenthesis, end text

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, 2, start text, space, м, end text, divided by, 4, start text, space, с, end text, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, В, ы, ч, и, с, л, и, л, и, question mark, space, М, о, л, о, д, ц, ы, !, !, !, right parenthesis, end text

Итак скорость моржа в момент времени 2, start text, space, с, end text была равной 0, comma, 5, start text, space, м, slash, с, end text.

Найдём скорость в точке 5, start text, space, с, end text:

Чтобы найти скорость в момент времени 5, start text, space, с, end text, достаточно заметить, что график в окрестностях этой точки представляет собой горизонтальную прямую. У горизонтальной прямой угловой коэффициент равен нулю, а следовательно, скорость моржа в момент времени 5, start text, space, с, end text была равной 0, start text, space, м, slash, с, end text.

Найдём скорость в точке 8, start text, space, с, end text:

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента)}

Мы выберем точки в начале и конце последнего отрезка, которые равны left parenthesis, 6, start text, с, end text, comma, 3, start text, м, end text, right parenthesis и left parenthesis, 9, start text, с, end text, comma, 0, start text, м, end text, right parenthesis.

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{0\text{ м}-3\text{ м}}{9\text{ с}-6\text{ с}}\qquad \text{(Выбираем две точки и подставляем значения x в числитель, а значения t — в знаменатель.)}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, 0, start text, space, м, end text, minus, 3, start text, space, м, end text, divided by, 9, start text, space, с, end text, minus, 6, start text, space, с, end text, end fraction, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, д, в, е, space, т, о, ч, к, и, space, и, space, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, space, x, space, в, space, ч, и, с, л, и, т, е, л, ь, comma, space, а, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, space, t, space, —, space, в, space, з, н, а, м, е, н, а, т, е, л, ь, point, right parenthesis, end text

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, minus, 3, start text, space, м, end text, divided by, 3, start text, space, с, end text, end fraction, equals, minus, 1, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, П, о, с, ч, и, т, а, л, и, question mark, space, М, о, л, о, д, ц, ы, !, !, !, right parenthesis, end text

Итак скорость моржа в момент времени 8, start text, space, с, end text была равной minus, 1, start text, space, м, slash, с, end text.

Пример 2: Радостная птица

Движение чрезвычайно радостной птицы, летающей по прямой вверх и вниз, представлено на графике ниже. Здесь вертикальное положение птицы y — это функция времени t. Ответьте на следующие вопросы о движении этой птицы.

Чему равнялась средняя векторная скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text?
Чему равнялась средняя скалярная скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text?

Находим среднюю векторную скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text:

Чтобы найти среднюю векторную скорость между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text, нужно найти средний угловой коэффициент графика между точками t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text. Визуально это будет соответствовать угловому коэффициенту прямой, соединяющей начальную и конечную точки графика интересующего нас интервала.

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{y_2-y_1}{t_2-t_1} \qquad \text{(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента.)}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, в, о, с, п, о, л, ь, з, у, е, м, с, я, space, ф, о, р, м, у, л, о, й, space, д, л, я, space, в, ы, ч, и, с, л, е, н, и, я, space, у, г, л, о, в, о, г, о, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, а, point, right parenthesis, end text

Начальная точка — это left parenthesis, 0, start text, space, с, end text, comma, 7, start text, space, м, end text, right parenthesis, а конечная — left parenthesis, 10, start text, space, с, end text, comma, 6, start text, space, м, end text, right parenthesis.

\text{угловой коэффициент}=\dfrac{6\text{ м}-7\text{ м}}{10\text{ с}-0\text{ с}}\qquad \text{(Берём начальную и конечную точку интервала и подставляем значения.)}

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, 6, start text, space, м, end text, minus, 7, start text, space, м, end text, divided by, 10, start text, space, с, end text, minus, 0, start text, space, с, end text, end fraction, start text, left parenthesis, Б, е, р, ё, м, space, н, а, ч, а, л, ь, н, у, ю, space, и, space, к, о, н, е, ч, н, у, ю, space, т, о, ч, к, у, space, и, н, т, е, р, в, а, л, а, space, и, space, п, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

start text, у, г, л, о, в, о, й, space, к, о, э, ф, ф, и, ц, и, е, н, т, end text, equals, start fraction, minus, 1, start text, space, м, end text, divided by, 10, start text, space, с, end text, end fraction, equals, minus, 0, comma, 1, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, П, о, с, ч, и, т, а, л, и, question mark, space, М, о, л, о, д, ц, ы, !, !, !, right parenthesis, right parenthesis, end text

Итак, средняя векторная скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text равна minus, 0, comma, 1, start text, space, м, slash, с, end text.

[А разве нельзя было просто разделить перемещение на время?]

Находим среднюю скалярную скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text:

По определению, средняя скалярная скорость равна отношению пройденного расстояния ко времени. Чтобы найти пройденное расстояние, мы должны сложить все отрезки пути птицы. Между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 2, comma, 5, start text, space, с, end text птица переместилась на 5, start text, space, м, end text вниз. Затем, между t, equals, 2, comma, 5, start text, space, с, end text и t, equals, 5, start text, space, с, end text птица не двигалась. И наконец, между t, equals, 5, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text птица переместилась на 4, start text, space, м, end text вверх. Складывая длины всех отрезков пути, получим, что проделанный птицей путь составил start text, р, а, с, с, т, о, я, н, и, е, end text, equals, 9, start text, space, м, end text.

Теперь мы можем разделить его на время, чтобы получить среднюю скалярную скорость s, start subscript, с, р, point, end subscript

s_{ср.}=\dfrac{\text{расстояние}}{\Delta t} \quad\text{(Используем формулу для вычисления средней скалярной скорости.)}

s, start subscript, с, р, point, end subscript, equals, start fraction, start text, р, а, с, с, т, о, я, н, и, е, end text, divided by, delta, t, end fraction, start text, left parenthesis, И, с, п, о, л, ь, з, у, е, м, space, ф, о, р, м, у, л, у, space, д, л, я, space, в, ы, ч, и, с, л, е, н, и, я, space, с, р, е, д, н, е, й, space, с, к, а, л, я, р, н, о, й, space, с, к, о, р, о, с, т, и, point, right parenthesis, end text

s, start subscript, с, р, point, end subscript, equals, start fraction, 9, start text, space, м, end text, divided by, 10, start text, space, с, end text, end fraction, equals, 0, comma, 9, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, П, о, д, с, т, а, в, и, м, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, space, и, space, п, о, с, ч, и, т, а, е, м, !, right parenthesis, end text

Таким образом, средняя скалярная скорость птицы на промежутке от t, equals, 0, start text, space, с, end text до t, equals, 10, start text, space, с, end text составила 0, comma, 9, start text, space, м, slash, с, end text.

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Сортировать по:

Пока нет ни одной записи.

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.

Физика

Course: Физика > Модуль 1

Какую полезную информацию мы можем получить из графиков положения в зависимости от времени?

Что показывает вертикальная ось графика положения объекта?

Что означает угловой коэффициент касательной к графику положения?

Что означает кривизна графика положения?

Как выглядят решения задач с графиками зависимости положения от времени?

Пример 1. Голодный морж

Найдём скорость в точке 2 с2\text{ с}2 с2, start text, space, с, end text:

Найдём скорость в точке 5 с5\text{ с}5 с5, start text, space, с, end text:

Найдём скорость в точке 8 с8\text{ с}8 с8, start text, space, с, end text:

Пример 2: Радостная птица

Находим среднюю векторную скорость птицы между t=0 сt=0\text{ с}t=0 сt, equals, 0, start text, space, с, end text и t=10 сt=10\text{ с}t=10 сt, equals, 10, start text, space, с, end text:

Находим среднюю скалярную скорость птицы между t=0 сt=0\text{ с}t=0 сt, equals, 0, start text, space, с, end text и t=10 сt=10\text{ с}t=10 сt, equals, 10, start text, space, с, end text:

Хотите присоединиться к обсуждению?

Найдём скорость в точке 2, start text, space, с, end text:

Найдём скорость в точке 5, start text, space, с, end text:

Найдём скорость в точке 8, start text, space, с, end text:

Находим среднюю векторную скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text:

Находим среднюю скалярную скорость птицы между t, equals, 0, start text, space, с, end text и t, equals, 10, start text, space, с, end text: