If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Что такое графики зависимости положения в пространстве от времени?

Посмотрите, что мы можем узнать из графиков зависимости положение от времени.

Какую полезную информацию мы можем получить из графиков положения в зависимости от времени?

Многие чувствуют себя при работе с графиками не лучшим образом: это смесь чувства тревоги и сильного желания закончить этот опыт как можно скорее. Но в графиках положения есть своя красота, это эффективный и достаточно компактный способ визуального представления достаточно обширной информации о движении объекта.

Что показывает вертикальная ось графика положения объекта?

Вертикальная ось показывает положение объекта. Например, на графике, представленном ниже, можно узнать положение объекта в метрах в определенное время.
Для этого необходимо сдвинуть точку по горизонтали, чтобы выбрать другое время и тогда можно увидеть, как изменится положение по вертикальной оси.
Самопроверка. В какой точке находился объект в момент времени t=5 секунд, согласно приведенному выше графику?

Что означает угловой коэффициент касательной к графику положения?

Угловой коэффициент касательной к графику положения равняется скорости объекта. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику в данной конкретной точке соответствует мгновенной скорости в этот момент времени.
Чтобы понять почему так происходит, давайте рассмотрим угловой коэффициент на графике, показанном ниже:
Угловой коэффициент касательной этого графика выглядит следующим образомугловой коэффициент=изменение по вертикалиизменение по горизонтали=x2x1t2t1.
Формула углового коэффициента совпадает с определением скорости: v=ΔxΔt=x2x1t2t1. Таким образом, угловой коэффициент графика положения должен быть равен скорости объекта.
Это утверждение остаётся верным, даже если касательная к графику меняется. Например, на изображённом ниже графике зависимости положения от времени красная линия — это касательная в данный конкретный момент времени. Попробуйте сдвинуть точку на этом графике по горизонтали, чтобы увидеть, как выглядит угловой коэффициент касательной в каждый конкретный момент времени.
Угловой коэффициент касательной между точками t=0 с и t=3 с положителен, поскольку график идёт вверх. Это значит, что скорость объекта положительна, и объект движется в положительном направлении.
Угловой коэффициент касательной между точками t=3 с и t=9 с отрицателен, поскольку график идёт вниз. Это значит, что скорость объекта отрицательна, и объект движется в отрицательном направлении.
В момент времени t=3 с угловой коэффициент равен нулю, поскольку касательная к графику горизонтальна. Это значит, что в этот момент скорость равна нулю, и объект находится в состоянии покоя.
Самопроверка. Чему равна скорость объекта в момент времени t=9 с, согласно показанному выше графику?
Необходимо помнить, что угловой коэффициент касательной к графику положения в некий момент времени даёт вам мгновенную скорость в этот же момент времени. Средний угловой коэффициент графика между двумя точками даст вам среднюю скорость на этом промежутке времени. Мгновенная скорость может не равняться средней. Однако, если угловой коэффициент касательной к графику на неком промежутке остаётся постоянным (то есть график представляет собой прямую), тогда мгновенная скорость будет равна средней скорости между двумя любыми точками этого отрезка.

Что означает кривизна графика положения?

Взгляните на график ниже. Он представляет собой кривую, поскольку не состоит из отрезков прямых. Если график положения искривлён, это значит, что угловой коэффициент касательной у него меняется, а следовательно, меняется и скорость. Изменение скорости подразумевает наличие ускорения. Таким образом, кривизна графика положения показывает, что объект движется с ускорением, его скорость и угловой коэффициент касательной изменяются*.
На приведенном ниже графике попробуйте переместиться по горизонтали, чтобы увидеть как меняется угловой коэффициент касательной. Первый «горб» между 1 с и 5 с соответствует отрицательному ускорению, поскольку угловой коэффициент касательной меняется с положительного на отрицательный. Второй «горб» между 7 с и 11 с соответствует положительному ускорению, поскольку угловой коэффициент касательной меняется с отрицательного на положительный.
Самопроверка. Чему равно ускорение объекта в момент времени t=6 с, согласно показанному выше графику?
Подводя итог, если кривизна графика положения выглядит как перевернутая миска, ускорение будет отрицательным. Если кривизна выглядит как *миска, стоящая на столе, ускорение будет положительным *. Вот способ запомнить это: если ваша миска перевернута, вся еда из неё выпадет, и мы это воспримем отрицательно. Если миска стоит на столе, то вся ваша еда останется в ней, мы воспринимаем это положительно.

Как выглядят решения задач с графиками зависимости положения от времени?

Пример 1. Голодный морж

На графике ниже показано перемещение голодного моржа вперёд и назад в поисках пищи. Здесь положение моржа x — это функция от времени t.
Чему равнялась мгновенная скорость моржа в точках 2 с, 5 с и 8 с?

Найдём скорость в точке 2 с:

Чтобы найти скорость моржа в момент времени t=2 с, мы должны найти угловой коэффициент графика в точке t=2 с:
угловой коэффициент=x2x1t2t1(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента.)
Теперь мы можем выбрать любые две точки, лежащие на отрезке графика от 0 с до 4 с, где угловой коэффициент остаётся постоянным. Например можно взять точки (0 с,1 м) и (4 с,3 м). Более поздний момент времени подставляется в формулу как точка 2, а более ранний — как точка 1.
угловой коэффициент=3 м1 м4 с0 с(Выбираем две точки и подставляем значения x в числитель, а значения t — в знаменатель.)
угловой коэффициент=2 м4 с=12 м/с(Вычислили? Молодцы!!!)
Итак скорость моржа в момент времени 2 с была равной 0,5 м/с.

Найдём скорость в точке 5 с:

Чтобы найти скорость в момент времени 5 с, достаточно заметить, что график в окрестностях этой точки представляет собой горизонтальную прямую. У горизонтальной прямой угловой коэффициент равен нулю, а следовательно, скорость моржа в момент времени 5 с была равной 0 м/с.

Найдём скорость в точке 8 с:

угловой коэффициент=x2x1t2t1(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента)
Мы выберем точки в начале и конце последнего отрезка, которые равны (6с,3м) и (9с,0м).
угловой коэффициент=0 м3 м9 с6 с(Выбираем две точки и подставляем значения x в числитель, а значения t — в знаменатель.)
угловой коэффициент=3 м3 с=1 м/с(Посчитали? Молодцы!!!)
Итак скорость моржа в момент времени 8 с была равной 1 м/с.

Пример 2: Радостная птица

Движение чрезвычайно радостной птицы, летающей по прямой вверх и вниз, представлено на графике ниже. Здесь вертикальное положение птицы y — это функция времени t. Ответьте на следующие вопросы о движении этой птицы.
Чему равнялась средняя векторная скорость птицы между t=0 с и t=10 с?
Чему равнялась средняя скалярная скорость птицы между t=0 с и t=10 с?

Находим среднюю векторную скорость птицы между t=0 с и t=10 с:

Чтобы найти среднюю векторную скорость между t=0 с и t=10 с, нужно найти средний угловой коэффициент графика между точками t=0 с и t=10 с. Визуально это будет соответствовать угловому коэффициенту прямой, соединяющей начальную и конечную точки графика интересующего нас интервала.
угловой коэффициент=y2y1t2t1(воспользуемся формулой для вычисления углового коэффициента.)
Начальная точка — это (0 с,7 м), а конечная — (10 с,6 м).
угловой коэффициент=6 м7 м10 с0 с(Берём начальную и конечную точку интервала и подставляем значения.)
угловой коэффициент=1 м10 с=0,1 м/с(Посчитали? Молодцы!!!))
Итак, средняя векторная скорость птицы между t=0 с и t=10 с равна 0,1 м/с.

Находим среднюю скалярную скорость птицы между t=0 с и t=10 с:

По определению, средняя скалярная скорость равна отношению пройденного расстояния ко времени. Чтобы найти пройденное расстояние, мы должны сложить все отрезки пути птицы. Между t=0 с и t=2,5 с птица переместилась на 5 м вниз. Затем, между t=2,5 с и t=5 с птица не двигалась. И наконец, между t=5 с и t=10 с птица переместилась на 4 м вверх. Складывая длины всех отрезков пути, получим, что проделанный птицей путь составил расстояние=9 м.
Теперь мы можем разделить его на время, чтобы получить среднюю скалярную скорость sср.
sср.=расстояниеΔt(Используем формулу для вычисления средней скалярной скорости.)
sср.=9 м10 с=0,9 м/с(Подставим значения и посчитаем!)
Таким образом, средняя скалярная скорость птицы на промежутке от t=0 с до t=10 с составила 0,9 м/с.

Хотите присоединиться к обсуждению?

Пока нет ни одной записи.
Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.