График зависимости положения в пространстве от времени

поговорим о графиках зависимости местоположения от времени многие в них путаются я слева и с ними никогда не сталкивались то можно запутаться и не сразу разобраться что к чему и физики очень любят такие графики и учителя в школе тоже есть много подобных задач на экзаменах и контрольных почему их так любят потому что на них в сжатом виде показано очень много полезной информации о движении предмета все наглядно видно и даже не нужно записывать формулу или подписывать какие-то дополнительные слова все есть на графике то есть это очень полезный инструмент если уметь им пользоваться итак перед нами график движения никого объекта и давайте для наглядности добавим конкретики пусть это график движения черепахи и не просто черепахи а черепахи с реактивным ранцем на панцире давайте для безопасности наденем на черепашку каску и так черепашка двигается и это график и и движение первая ошибка которую многие допускают это считают что черепашка двигалась именно по такой траектории то есть сначала она ползла вперед затем в бок затем вверх но это не так чтобы разобраться с этим графиком давайте нарисуем горизонтальную ось числовую прямую на этой прямой мы будем отмечать горизонтальное положение черепахи измеряться она будет в метрах дело в том что обратите внимание что мы откладываем на графике по вертикальной оси это и есть положение черепахи и и x-координата то есть на этом графике мы отмечаем горизонтальное положение это значит что если в какой то момент времени черепаха будет находиться в точке 2 то на этом графике вертикальная координата соответствующей точке будет тоже 2 то есть в момент времени примерно две с четвертью секунды черепаха находилась в точке 2 метра вот о чем говорит этот график давайте теперь рассмотрим этот график и разберемся что именно делала наша черепашка если она не ползла вниз и вверх что же она тогда делала в начале графика когда время t равнялась нулю вертикальная координата соответствующей точки на графике 3 а вертикальная координата означает положение черепашки на прямой этот график показывает зависимость положение черепахи на горизонтальной прямой от времени значит в 0 моментом времени черепаха находится в точке 3 метра переместим ее в начальную точку вот отсюда она начинает движение что происходит дальше в момент времени t равны одной секунде делаем тоже самое поднимаемся вверх до пересечения с графиком а затем сдвигаемся влево чтобы узнать положение черепахи и в этот момент черепаха по-прежнему находится в точке 3 в точке 2 секунды поднимаемся до нашего графика и затем идём влево черепаха снова в точке 3 метра получается что первые 2 секунды она сидела на месте таким образом горизонтальный участок на графике означает что с течением времени предмет вообще не двигался он был неподвижен вероятно черепаха разбиралась как включить свой реактивный ранец что происходит дальше спустя некоторое время в точке 4 секунды черепаха оказалась в точке минус 5 метров это в самой левые точки нашего рисунка между двумя и четырьмя секундами черепаха летела назад видимо не разобравшись включила задний ход и так черепаха оказалось вот здесь что происходит дальше после этого черепаха рванула вперед затем она оказалась на графике в нуле а затем долетела назад до точки 3 метра вот так двигалась черепаха вот что показывает нам этот график но я вам говорил что из этого графика можно почерпнуть много другой полезной информации например из него можно узнать об изменении положения черепахи изменение положения я обозначу дельта x изменение положения это разность между конечным положением и изначальном можно вычислить эту величину взяв любые два момента времени но для простоты давайте найдем ее для всего изображенного на графике отрезка хотя можно рассмотреть например от 0 до 4 секунд но мы рассмотрим от нуля до десяти весь график чему равно конечное положение черепахи в момент 10 секунд она находилась в точке 3 метра и из этого вычитается первоначальное положение черепахи в момент времени 0 секунд тогда она тоже находилась в точке 3 метра а значит за все время ее путешествия она переместилась в итоге на 0 метров и это логично и она стартовала с трех метров по сидела там пару секунд отлетела назад до -5 а затем снова вперед до плюс 3 черепаха закончила движение там же где и начала итоговое перемещение 0 метров что ещё можно узнать дистанцию которую она преодолела она будет равна сумме длин всех отрезков которые черепаха преодолела на протяжении первой части графика черепаха сидела на месте никуда не двигаясь то есть первая часть графика 0 метров дальше в промежутке от двух секунд до 4 секунд черепаха переместилась точке 3 метра в точку минус 5 метров пролетев таким образом расстоянии 8 метров нужно ли писать минус 8 метров нет пройденное расстояние всегда будет положительным мы складываем абсолютные величины а дальше с четырех секунд до 10 секунд черепаха переместилась с точки минус 5 метров назад в точку 3 метра а значит она преодолела еще 8 метров то есть общее пройденное расстояние равно 16 метров опять же это расстояние можно точно так же вычислить для любых двух точек графика что еще мы можем узнать из этого графика например можно узнать среднюю векторную скорость что такое средняя векторная скорость это отношение изменения местоположения ко времени и мы снова посчитаем эту величину для всего графика от нуля до десяти секунд изменение местоположения мы с вами уже выяснили оно равно нулю поэтому в числителе будет 0 метров что будет в знаменателе уже неважно но время путешествия черепахи 10 секунд здесь получился 0 какое-то время она двигалась с отрицательной скоростью назад потом с положительной вперед и общая средняя векторная скорость оказалось равны нулю а теперь давайте посчитаем среднюю скалярную скорость то есть среднюю скорость с которой черепаха двигалась без учета направления движения средняя скалярная скорость будет равна отношению пройденной дистанции ко времени и опять же мы ищем среднюю скорость за все время путешествия черепахи за все 10 секунд это не так сложно потому что мы уже посчитали пройденную черепах и дистанцию 16 метров и делим ее на время на 10 секунд и так средняя скалярная скорость черепахи за все время ее путешествия составляла одну целую шесть десятых метров в секунду она была бы выше если бы у черепашки не возникли в начале технические сложности и так это не все что мы можем узнать из этого графика например давайте еще найдем мгновенную скорость обычное и обозначает просто буквой v потому что под скоростью как правило понимает именно мгновенную скорость и сверху ставится стрелочка потому что мгновенная скорость величина векторная что это такое в этом наверное самое важное идея всего этого видеоролика чтобы узнать и мгновенную скорость в каждой точке графика зависимости положения от времени нужно взять угловой коэффициент прямой в этой . как оказывается на графике зависимости положения от времени угловой коэффициент прямой в каждой точки соответствует мгновенные скорости в соответствующем направлении поскольку у нас движение прямолинейная вдоль прямой x то угловой коэффициент прямой дает на мгновенную скорость в направлении оси x и не только можно посчитать средний угловой коэффициент на определенном отрезке и получить среднюю скорость а если взять угловой коэффициент в конкретной точке мы получим мгновенную скорость как это сделать как найти угловой коэффициент в конкретные точки в общем случае если график представляет собой кривую то мы должны воспользоваться производной но нам повезло у нас все линии прямые а это значит что угловой коэффициент каждый из этих трех прямых будет постоянным на каждом соответствующем участке давайте разберем все более детально скажем узнаем мгновенную скорость в момент три секунды как это сделать потому гна венной скоростью мы понимаем скорость черепахи строго в точке 3 секунды ищем три секунды по шкале времени и опускаемся вниз до графика вот она та самая . в который нужно найти угловой коэффициент графика как его найти я уже говорил ключ в том что график в районе этой точке представляет собой прямую и ее угловой коэффициент можно вычислить по любым двум точкам угловой коэффициент этой прямой на всем промежутке и будет соответствовать мгновенной скорости черепахи наклон этой прямой нигде не изменяется он постоянный на всем промежутке от 2 до 4 секунд а значит для вычисления углового коэффициента можно взять любые две точки это я таким сложным образом хочу сказать что если взять среднее значение от 8 8 8 и 8 чему оно будет равно среднее значение у этого набора равно 8 оно равно любому из этих значений аналогично средний угловой коэффициент этой прямой будет равен угловому коэффициенту в любой ее точке нам повезло и можно обойтись без производных мы можем посчитать угловой коэффициент этой прямой взяв любые две точки например концы отрезка времени эти точки самые удобные нам точные известны их координаты координаты первой точке 2 и 3 координаты второй точки 4 и минус 5 вы спросите почему скорость равна угловому коэффициенту вспомните уроки математики угловой коэффициент это скорость роста прямой то есть отношение изменения оси ординат и к изменению оси абсцисс то есть y2 минус игрек один разделить на x 2 минус x1 на уроках математики принято горизонтальную ось подписывать x а вертикальную y но у нас у физиков не всегда так в данном случае горизонтальная ось у нас t время а вертикальная ось как раз и есть x координата черепахи на прямой поэтому если переписать формулу углового коэффициента для этой прямой с точки зрения физики тогда вместо игрека вертикальная координата у нас x то есть x 2 минус x1 и всё это делится на изменения горизонтальные координаты то есть т2 минус t 1 итак вот у нас точка два вот . 1 как мы это определили вторая точка должна быть дальше во времени поэтому . 4 секунды и минус 5 метров это будет . 2 итак x2 это минус 5 метров минус x1 это вот эта точка x 1 это не четыре потому что четыре это время не путайте и так положение черепахи в точке 1 это 3 значит плюс 3 но перед тройкой будет минус мы его взяли из формулы и разделить на разницу времени во второй точке это четыре секунды минус время в первой точке это две секунды минус 5 минус 3-это минус 8 метров делим на две секунды смотрите что получилось минус 4 метра в секунду это и будет мгновенная скорость в точке 3 секунды минус 4 метра в секунду минус потому что черепаха двигалась назад помните как она перепутала направление движения и включила задний ход минус это направление от 4 означает что за каждую секунду она двигалась не 4 метра за 2 секунды она сдвинулась на 8 метров значит ее средняя скорость на данном участке 4 метра в секунду а поскольку график представляет собой прямую с этой же скоростью она двигалась в любой момент этого отрезка времени теперь давайте сообразим чему равна мгновенная скорость в точке 2,4 секунды не надо пугаться на этом отрезке скорость постоянно то есть ответ тот же самый минус 4 метра в секунду и последнее что мы можем узнать это мгновенную величину скорости до этого нам важно было направлении мы рассматривали скорость как вектор а теперь нас интересует только величина скорости мгновенная ненаправленная скорость будет равна абсолютной величине или модулю мгновенные векторной скорости я сделаю небольшое отступление это важный момент если нам дан график только горизонтального положения черепахи мы ничего не знаем о ее перемещение по вертикали черепаха просто ползает взад-вперед или же может подлетать при этом вверх если горизонтальная составляющая скорости было на этих промежутках постоянной то нам для этого графика совершенно не важно какая у неё была вертикальная скорость поэтому здесь у нас значение скорости это модуль горизонтального вектора скорости а значит для простоты можем предположить что черепаха двигалась строго горизонтально пусть она еще не научилась подлетать и подпрыгивать таким образом скалярное значение мгновенной скорости это длина вектора мгновенной скорости то есть его модуль и поскольку наша черепаха двигается только по оси и x можно сказать итак я забыл указать точный момент времени нельзя найти просто мгновенную скорость можно найти только мгновенную скорость в конкретный момент времени и так в начале мгновенные скорости было 0 а мгновенная скалярная скорость в этой точке равна чему абсолютной величине векторной скорости то есть плюс 4 метрам в секунду это абсолютное значение скорости в точке 3 секунды и в любой другой точке 2 периода черепашьего пути от 2 до 4 секунд как много информации я вам рассказал давайте подытожим и так ордината точки на графике зависимости положения от времени дает нам положение объекта в данный момент времени угловой коэффициент прямой или производной в данной точке графика показывает скорость по направлению оси x средний угловой коэффициент дает нам среднюю скорость угловой коэффициент в точке дает мгновенную скорость если график представляет собой прямую или отрезок прямой эти величины будут совпадать на всем отрезке вот здесь они у нас не совпали почему потому что я считал средние не потому отрезка где график прямой а по всему графику здесь у нас сломанная угловой коэффициент несколько раз менялся если бы я считал среднюю скорость на участке где прямая не меняет направление эти числа были бы равными а скалярное значение мгновенной скорости это модуль вектора мгновенной скорости спасибо что подписывайтесь на наш канал мы будем рады услышать ваше мнение по поводу этого видео если у вас возникли вопросы касательно данного видеоролика то напишите их в комментариях и мы с удовольствием постараемся ответить на них