Основное содержание

Физика

Course: Физика > Модуль 1

Урок 4: Формулы кинематики, и движение тела, брошенного в воздух

Какие существуют кинематические формулы?

Вот основные уравнения, которые вы можете использовать для решения задач на движение с постоянным ускорением.

Что такое кинематические формулы?

Кинематические формулы — это набор формул, связывающих пять перечисленных ниже кинематических переменных.

delta, x, start text, П, е, р, е, м, е, щ, е, н, и, е, end text
t, start text, В, р, е, м, е, н, н, о, й, space, и, н, т, е, р, в, а, л, end text, space
v, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, Н, а, ч, а, л, ь, н, а, я, space, с, к, о, р, о, с, т, ь, end text, space
v, space, space, space, start text, К, о, н, е, ч, н, а, я, space, с, к, о, р, о, с, т, ь, end text, space
a, space, space, start text, space, П, о, с, т, о, я, н, н, о, е, space, у, с, к, о, р, е, н, и, е, end text, space

[Почему мы обозначаем интервал времени как t?]

Зная значения трёх из пяти кинематических переменных — delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a — для объекта, движущегося с постоянным ускорением, мы можем при помощи указанных ниже формул найти одно из неизвестных значений.

Кинематические формулы часто включают в себя следующие четыре выражения.

[Откуда взялись эти формулы?]

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Поскольку кинематические формулы дают верный ответ только если ускорение на протяжении данного интервала времени остаётся постоянным, нужно быть аккуратным и не применять их, если ускорение изменяется. Кроме того, в формулах кинематики по умолчанию считается, что все направления согласованы: горизонтальное — x, вертикальное — y и так далее.

[Постойте, что?]

Что такое «свободно летящий объект»?

Кинематические формулы работают только тогда, когда ускорение постоянно, и может показаться, что это сильно ограничивает область их применения. Однако одна из самых распространенных форм движения — свободное падение — как раз и является примером движения с постоянным ускорением.

Свободно летящие предметы в физике часто сравниваются с пущенными из артиллерийского орудия снарядами. Вне зависимости от массы этих предметов гравитация Земли заставляет их двигаться с постоянным ускорением g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction.

g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, В, е, л, и, ч, и, н, а, space, у, с, к, о, р, е, н, и, я, space, с, в, о, б, о, д, н, о, г, о, space, п, а, д, е, н, и, я, right parenthesis, end text

Объект в свободном полёте - это любой объект, ускорение которого вызвано исключительно влиянием гравитации. Как правило, сопротивление воздуха в таких случаях принято считать достаточно небольшим, чтобы им можно было пренебречь, поэтому любой брошенный, подкинутый вверх или просто свободно летящий в воздухе предмет сравнивается со снарядом, движущимся с постоянным ускорением, направленным вниз, величиной g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction.

Если подумать, то это удивительно, что огромный булыжник будет падать с тем же ускорением, что и маленький камешек. Это значит, что если их сбросить с одной высоты, они упадут на землю одновременно.

[Как так может быть?]

При этом удобно, что для применения кинематических формул нам не нужно знать массу предмета, поскольку все падающие объекты будут иметь одно и то же вертикальное ускорение величиной g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, вне зависимости от массы, при условии, что мы пренебрегаем сопротивлением воздуха.

Обратите внимание, что g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction — это абсолютная величина ускорения свободного падения. Если положительным направлением считать направление вверх, тогда ускорение свободного падения необходимо поставлять в кинематические формулы с минусом: a, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction

Предупреждение. Не забывайте об этом минусе, это одна из самых распространённых ошибок при использовании кинематических формул.

Как выбрать и использовать кинематическую формулу?

При выборе подходящей кинематической формулы необходимо взять ту, в которую входят неизвестная величина и три известных кинематических величины. Таким образом, в формуле окажется всего одна неизвестная переменная, которую можно выразить через известные величины и найти.

Например, представьте, что книгу, лежащую на земле, подтолкнули вперёд с начальной скоростью v, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, м, slash, с, end text, после чего за t, equals, 3, start text, space, с, end text книга переместилась на расстояние delta, x, equals, 8, start text, space, м, end text. Чтобы найти неизвестное ускорение книги a (при условии, что оно постоянно), мы можем воспользоваться формулой delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, поскольку значения всех остальных переменных в этой формуле, кроме a, нам известны: delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t.

Подсказка для решения задач. Обратите внимание, что в каждой кинематической формуле отсутствует какая-нибудь одна из пяти переменных: delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a.

1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, В, space, э, т, о, й, space, ф, о, р, м, у, л, е, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, delta, x, point, right parenthesis, end text

2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, В, space, э, т, о, й, space, ф, о, р, м, у, л, е, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, a, point, right parenthesis, end text

3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, В, space, э, т, о, й, space, ф, о, р, м, у, л, е, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, v, point, right parenthesis, end text

4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, В, space, э, т, о, й, space, ф, о, р, м, у, л, е, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, t, point, right parenthesis, end text

Чтобы выбрать подходящую для вашей задачи кинематическую формулу, определите, значение какой переменной вам не дано и не требуется найти. Например, в приведённой выше задаче нам не дана и не спрашивается конечная скорость книги v, а значит, нам потребуется формула, в которой v вообще никак не фигурирует. Конечная скорость v отсутствует в формуле delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, значит, она подойдёт для нахождения ускорения a.

[А где же пятая формула, в которой отсутствует начальная скорость?]

Как вывести первую кинематическую формулу, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t?

Эту формулу, пожалуй, вывести проще всего, она получается небольшим преобразованием определения ускорения. Возьмём определение ускорения:

a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction

\quad

[А разве это не среднее ускорение?]

Теперь заменим delta, v на определение изменения скорости — на v, minus, v, start subscript, 0, end subscript.

a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Наконец, выразим v и получим

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

И если мы договоримся вместо обозначения delta, t использовать просто t, у нас как раз и получится первая кинематическая формула.

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Как вывести вторую кинематическую формулу — delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Эту формулу очень удобно вывести если посмотреть на график скорости объекта, движущегося с постоянным ускорением. Таким образом, угловой коэффициент касательной к такому графику будет постоянным, а начинаться он будет с начальной скорости v, start subscript, 0, end subscript, как показано ниже.

Площадь под любым графиком скорости даёт нам перемещение delta, x. Таким образом, площадь под данным графиком также даст перемещение delta, x нашего объекта.

delta, x, equals, start text, space, о, б, щ, а, я, space, п, л, о, щ, а, д, ь, end text

Как показано выше, эту площадь можно посчитать как сумму площадей голубого прямоугольника и красного треугольника.

Высота голубого прямоугольника равна v, start subscript, 0, end subscript, а ширина — t, таким образом, его площадь равна v, start subscript, 0, end subscript, t.
Основание красного треугольника равно t, а высота — v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, таким образом, площадь красного треугольника равна start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

Общая площадь фигуры будет равняться сумме площадей голубого прямоугольника и красного треугольника.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Раскрыв скобки, получим start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые с переменной v, start subscript, 0, end subscript

delta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

И наконец, перепишем правую часть, чтобы получить вторую кинематическую формулу.

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Эта формула интересна тем, что, разделив обе части на t, мы получим выражение start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Это значит, что средняя скорость start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction равняется среднему арифметическому начальной и конечной скоростей start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction. Однако это верно только в случае постоянного ускорения, поскольку данную формулу мы вывели для графика скорости с постоянным угловым коэффициентом (то есть с постоянным ускорением).

Как вывести третью кинематическую формулу — delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Есть несколько способов вывести формулу delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared. В частности, есть красивый наглядный геометрический способ и менее красивый алгебраический, со множеством преобразований. Давайте сначала рассмотрим красивый геометрический.

Рассмотрим график объекта, начальная скорость которого равна v, start subscript, 0, end subscript, конечная — v, а ускорение постоянно.

Поскольку площадь под графиком скорости соответствует перемещению delta, x, значит, каждое слагаемое в правой части формулы delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared соответствует некой площади на показанном выше графике.

Слагаемое v, start subscript, 0, end subscript, t соответствует площади голубого прямоугольника, поскольку S, start subscript, п, р, я, м, о, у, г, о, л, ь, н, и, к, а, end subscript, equals, h, w.

Слагаемое start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared соответствует площади красного треугольника, поскольку S, start subscript, т, р, е, у, г, о, л, ь, н, и, к, а, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h.

[Подождите, как это?]

Вот и всё. Формула delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared верна, поскольку перемещение равно общей площади под графиком. Мы предположили, что график скорости представляет собой наклонную прямую, а значит, мы смогли воспользоваться формулой площади треугольника. Таким образом, эта кинематическая формула, как и все остальные, верна лишь при условии постоянного ускорения.

Вот альтернативное доказательство этой формулы. Третью кинематическую формулу можно получить, подставив первую (v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t) во вторую (start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction).

Возьмём вторую кинематическую формулу

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

и подставим вместо v значение v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, получим

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Разделим в правой части числитель на знаменатель и получим

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Приведём подобные слагаемые, сложив start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, получится

start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

И наконец, умножив обе части равенства на t, получим третью кинематическую формулу.

delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Опять же, мы воспользовались другими формулами, которые верны только при постоянном ускорении, следовательно, третья кинематическая формула также верна лишь при условии, что ускорение постоянно.

Как вывести четвёртую кинематическую формулу — v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

Чтобы вывести четвёртую кинематическую формулу, возьмём вторую кинематическую формулу:

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Наша задача — исключить из этой формулы время t. Для этого выразим из первой кинематической формулы v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t время, получив t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction. Если мы подставим это выражение вместо времени t во вторую кинематическую формулу, получится

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Перемножив дроби в правой части равенства, получим

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis

Выразив отсюда v, squared, получим четвёртую кинематическую формулу.

v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

О чём нужно помнить, применяя кинематические формулы?

Многие забывают, что кинематические формулы верны только тогда, когда ускорение постоянно на протяжении рассматриваемого временного интервала.

Иногда известная переменная не задана в задаче явно, а скорее подразумевается с помощью кодовых слов. Например, «начинает движение из состояния покоя» означает, что v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, «тело сброшено» также означает, что v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, а «остановилось» означает, что v, equals, 0. Кроме этого, ускорение свободного падения считается равным g, equals, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, поэтому оно может не указывается в задачах на падающие предметы в явном виде, но подразумевается.

Многие забывают, что почти все кинематические переменные, кроме t, а именно — delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a — могут принимать отрицательные значения. Пропущенный минус — довольно распространённая ошибка. Если направление вверх считать положительным, тогда значение ускорения свободного падения станет отрицательным: a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction.

При работе с третьей кинематической формулой, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, может потребоваться формула решения квадратных уравнений, см. ниже пример 3.

Также многие забывают, что несмотря на то что кинематические формулы верны для любого интервала времени, в течение которого ускорение остаётся постоянным, кинематические переменные, которые вы подставляете в формулы, должны соответствовать рассматриваемому временному интервалу. Иными словами, начальная скорость v, start subscript, 0, end subscript должна соответствовать скорости объекта в начале интервала времени t. Аналогично, конечная скорость v должна соответствовать скорости в самом конце рассматриваемого интервала t

Как решать задачи с кинематическими формулами?

Пример 1. Первая кинематическая формула — v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Резиновый шарик, наполненный водой, сбрасывается с крыши очень высокого здания.

Чему будет равна скорость этого шарика после t, equals, 2, comma, 35, start text, space, с, end text падения?

Будем считать направление вверх положительным, тогда известные нам величины будут равны

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Поскольку шарик сброшен, он начинает движение из состояния покоя.)
t, equals, 2, comma, 35, start text, space, с, end text (Это временной интервал, в конце которого мы должны определить скорость.)
a, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction(Ускорение равно ускорению свободного падения, поскольку шарик свободно падает с крыши.)

[Поскольку предмет падает на землю, можем ли мы считать его конечную скорость равной нулю?]

В рассматриваемом случае движение происходит по вертикали, поэтому мы будем использовать y в качестве переменной положения вместо x. На самом деле неважно, каким символом мы будем обозначать положение, просто в случае вертикального движения, как правило, используется буква y.

Поскольку перемещение delta, y нам неизвестно и нас не просят найти delta, y, поэтому мы воспользуемся первой кинематической формулой v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, где delta, y отсутствует.

v=v_{0}+at \quad \text{(Выбираем первую кинематическую формулу, поскольку в ней отсутствует $\Delta y$.)}

v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, п, е, р, в, у, ю, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, е, с, к, у, ю, space, ф, о, р, м, у, л, у, comma, space, п, о, с, к, о, л, ь, к, у, space, в, space, н, е, й, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, delta, y, point, right parenthesis, end text

v, equals, 0, start text, space, м, slash, с, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, comma, 35, start text, space, с, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, П, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, и, з, в, е, с, т, н, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

v, equals, minus, 23, comma, 1, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, Э, т, о, space, и, space, б, у, д, е, т, space, н, а, ш, space, о, т, в, е, т, !, right parenthesis, end text

Обратите внимание. Конечная скорость получилась отрицательной, поскольку шарик с водой летел вниз.

[Можно ли считать направление вниз положительным?]

Пример 2. Вторая кинематическая формула — delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Леопард бежит со скоростью 6,20 м/с, а увидев мираж в виде грузовика с мороженым, он разогнался до скорости 23,1 м/с за время 3,3 с.

Какое расстояние пробежал леопард, пока разгонялся с 6,20 м/с до 23,1 м/с?

Считая изначальное направление движения мотоциклиста положительным, выпишем известные нам переменные

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, comma, 20, start text, space, м, slash, с, end text (Начальная скорость леопарда)
v, equals, 23, comma, 1, start text, space, м, slash, с, end text (Конечная скорость леопарда)
t, equals, 3, comma, 30, start text, space, с, end text (Время, в течение которого леопард разгонялся)

Поскольку ускорение a нам не дано и в задаче не требуют его найти, мы воспользуемся второй кинематической формулой для горизонтального направления delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, в которой ускорение a отсутствует.

{\Delta x}=(\dfrac{v+v_{0}}{2})t \quad \text{(Выбираем вторую кинематическую формулу, поскольку в ней отсутствует $a$.)}

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, в, т, о, р, у, ю, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, е, с, к, у, ю, space, ф, о, р, м, у, л, у, comma, space, п, о, с, к, о, л, ь, к, у, space, в, space, н, е, й, space, о, т, с, у, т, с, т, в, у, е, т, space, a, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, comma, 1, start text, space, м, slash, с, end text, plus, 6, comma, 20, start text, space, м, slash, с, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, comma, 30, start text, space, с, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, П, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, и, з, в, е, с, т, н, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

delta, x, equals, 48, comma, 3, start text, space, м, end text, start text, left parenthesis, Э, т, о, space, и, space, б, у, д, е, т, space, н, а, ш, space, о, т, в, е, т, !, right parenthesis, end text

Пример 3. Третья кинематическая формула — delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Ученица устала выполнять домашнюю работу по кинематике и вертикально подбросила карандаш со скоростью 18,3 м/с.

Через какое время карандаш впервые окажется на 12,2 м выше изначального положения?

Будем считать направление вверх положительным, тогда известные нам величины будут равны

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text (изначальная скорость карандаша, направленная вверх)
delta, y, equals, 12, comma, 2, start text, space, м, end text (мы хотим узнать время, за которое карандаш достигнет этой высоты.)
a, equals, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, м, end text, divided by, start text, с, end text, squared, end fraction(карандаш летит с ускорением свободного падения.)

Поскольку конечная скорость v нам неизвестна, и её не требуют найти, мы воспользуемся третьей кинематической формулой для вертикального движения delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, в которой не хватает v.

delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, т, р, е, т, ь, ю, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, е, с, к, у, ю, space, ф, о, р, м, у, л, у, right parenthesis, end text

Обычно мы проводим алгебраические преобразования, чтобы выразить неизвестную нам переменную. Но если все величины отличны от нуля, то выразить неизвестную переменную путём алгебраических преобразований не получится. Дело в том, что если все величины ненулевые, а t — неизвестная переменная, данное выражение становится квадратным уравнением. Вы сразу это увидите, если мы подставим известные нам значения.

12, comma, 2, start text, space, м, end text, equals, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, П, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, и, з, в, е, с, т, н, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

Чтобы привести это выражение к более привычному нам виду квадратного уравнения, перенесём всё в одну часть. Вычитая 12,2 м из обеих частей равенства, получим:

0=\dfrac{1}{2}(-9{,}81\dfrac{\text{ м}}{\text{ с}^2})t^2+(18{,}3\text{ м/с})t -12{,}2\text{ м} \quad \text{(Приводим выражение к виду квадратного уравнения.)}

0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, t, minus, 12, comma, 2, start text, space, м, end text, start text, left parenthesis, П, р, и, в, о, д, и, м, space, в, ы, р, а, ж, е, н, и, е, space, к, space, в, и, д, у, space, к, в, а, д, р, а, т, н, о, г, о, space, у, р, а, в, н, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

Дальше мы можем решить квадратное уравнение, чтобы найти t. Решение квадратного уравнения, записанного в виде a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0, находится по формуле t, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction. В нашей кинематической формуле a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, b, equals, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text, и c, equals, minus, 12, comma, 2, start text, space, м, end text.

Итак, подставляя значения в формулу решения квадратного уравнения, получаем:

t=\dfrac{-18{,}3\text{ м/с}\pm\sqrt{(18{,}3\text{ м/с})^2-4[\dfrac{1}{2}(-9{,}81\dfrac{\text{ м}}{\text{ с}^2})(-12{,}2\text{ м})]}}{2[\dfrac{1}{2}(-9{,}81\dfrac{\text{ м}}{\text{ с}^2})]}

t, equals, start fraction, minus, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, comma, 3, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, comma, 2, start text, space, м, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, comma, 81, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

Поскольку в формуле стоит знак «плюс-минус», мы получим два возможных значения для времени t: одно со знаком plus, а второе со знаком minus. Из формулы выше получаются следующие решения:

t, equals, 0, comma, 869, start text, space, с, end text и t, equals, 2, comma, 86, start text, space, с, end text

существует два положительных решения, так как при таком виде движения карандаш дважды окажется на высоте 12,2 метра. Меньшее значение соответствует моменту, когда карандаш летит вверх и окажется на высоте 12,2 м. Большее значение соответствует моменту, когда карандаш пролетит мимо точки 12,2 м, достигнет максимальной высоты, а затем снова упадёт до 12,2 м.

Поэтому, чтобы ответить на вопрос, через какое время карандаш впервые окажется на 12,2 м выше изначального положения, мы возьмём меньший результат t, equals, 0, comma, 869, start text, space, с, end text.

[А что если при решении квадратного уравнения получится отрицательный ответ?]

Пример 4. Четвёртая кинематическая формула — v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Мотоциклист стартует на скорости 23,4 м/с, но, заметив перед собой плотное движение, решает притормозить и замедляется 50,2 м с постоянным ускорением, модуль которого равен 3, comma, 20, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction

Чему равна новая скорость мотоциклиста, после того как он замедлился на протяжении 50,2 м?

Считая изначальное направление движения мотоциклиста положительным, выпишем известные нам переменные

v, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, comma, 4, start text, space, м, slash, с, end text (Изначальная скорость мотоцикла, движущегося вперёд)
a, equals, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction (Ускорение отрицательно, поскольку мотоцикл замедляется, а положительным направлением мы считаем направление движения вперёд.)
delta, x, equals, 50, comma, 2, start text, space, м, end text (Мы хотим найти скорость после того, как перемещение мотоциклиста будет равно этому значению.)

Поскольку нам не известно t, и нас не просят найти время, мы воспользуемся четвёртой кинематической формулой v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, где отсутствует t, для горизонтального движения.

v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, В, ы, б, и, р, а, е, м, space, ч, е, т, в, ё, р, т, у, ю, space, к, и, н, е, м, а, т, и, ч, е, с, к, у, ю, space, ф, о, р, м, у, л, у, point, right parenthesis, end text

v_x=\pm\sqrt{v_{0x}^2+2a_x\Delta x} \quad \text{(При помощи алгебраических преобразований выразим конечную скорость.)}

v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, П, р, и, space, п, о, м, о, щ, и, space, а, л, г, е, б, р, а, и, ч, е, с, к, и, х, space, п, р, е, о, б, р, а, з, о, в, а, н, и, й, space, в, ы, р, а, з, и, м, space, к, о, н, е, ч, н, у, ю, space, с, к, о, р, о, с, т, ь, point, right parenthesis, end text

Обратите внимание, что при извлечении корня мы получим два решения: положительное и отрицательное. Поскольку наш мотоциклист продолжается двигаться вперёд, а его изначальное направление движения мы приняли за положительное, нас будет интересовать положительный ответ v, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root.

Теперь мы можем подставить значения и получим:

v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, comma, 4, start text, space, м, slash, с, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, comma, 20, start fraction, start text, space, м, end text, divided by, start text, space, с, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, comma, 2, start text, space, м, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, П, о, д, с, т, а, в, л, я, е, м, space, и, з, в, е, с, т, н, ы, е, space, з, н, а, ч, е, н, и, я, point, right parenthesis, end text

v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, comma, 0, start text, space, м, slash, с, end text, start text, left parenthesis, Э, т, о, space, и, space, б, у, д, е, т, space, н, а, ш, space, о, т, в, е, т, !, right parenthesis, end text

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Сортировать по:

Пока нет ни одной записи.

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.

Физика

Course: Физика > Модуль 1

Что такое кинематические формулы?

Что такое «свободно летящий объект»?

Как выбрать и использовать кинематическую формулу?

Как вывести первую кинематическую формулу, v=v0+atv=v_0+atv=v0​+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t?

Как вывести вторую кинематическую формулу — Δx=(v+v02)t{\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})tΔx=(2v+v0​​)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Как вывести третью кинематическую формулу — Δx=v0t+12at2\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2Δx=v0​t+21​at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Как вывести четвёртую кинематическую формулу — v2=v02+2aΔxv^2=v_0^2+2a\Delta xv2=v02​+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?