If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Если вы используете веб-фильтр, пожалуйста, убедитесь, что домены *.kastatic.org и *.kasandbox.org разблокированы.

Основное содержание

Course: Физика > Модуль 1

Урок 4: Формулы кинематики, и движение тела, брошенного в воздух

Какие существуют кинематические формулы?

Вот основные уравнения, которые вы можете использовать для решения задач на движение с постоянным ускорением.

Что такое кинематические формулы?

Кинематические формулы — это набор формул, связывающих пять перечисленных ниже кинематических переменных.
ΔxПеремещение
tВременной интервал 
v0  Начальная скорость 
v   Конечная скорость 
a   Постоянное ускорение 
Зная значения трёх из пяти кинематических переменных — Δx,t,v0,v,a — для объекта, движущегося с постоянным ускорением, мы можем при помощи указанных ниже формул найти одно из неизвестных значений.
Кинематические формулы часто включают в себя следующие четыре выражения.
1.v=v0+at
2.Δx=(v+v02)t
3.Δx=v0t+12at2
4.v2=v02+2aΔx
Поскольку кинематические формулы дают верный ответ только если ускорение на протяжении данного интервала времени остаётся постоянным, нужно быть аккуратным и не применять их, если ускорение изменяется. Кроме того, в формулах кинематики по умолчанию считается, что все направления согласованы: горизонтальное — x, вертикальное — y и так далее.

Что такое «свободно летящий объект»?

Кинематические формулы работают только тогда, когда ускорение постоянно, и может показаться, что это сильно ограничивает область их применения. Однако одна из самых распространенных форм движения — свободное падение — как раз и является примером движения с постоянным ускорением.
Свободно летящие предметы в физике часто сравниваются с пущенными из артиллерийского орудия снарядами. Вне зависимости от массы этих предметов гравитация Земли заставляет их двигаться с постоянным ускорением g=9,81мс2.
g=9,81мс2(Величина ускорения свободного падения)
Объект в свободном полёте - это любой объект, ускорение которого вызвано исключительно влиянием гравитации. Как правило, сопротивление воздуха в таких случаях принято считать достаточно небольшим, чтобы им можно было пренебречь, поэтому любой брошенный, подкинутый вверх или просто свободно летящий в воздухе предмет сравнивается со снарядом, движущимся с постоянным ускорением, направленным вниз, величиной g=9,81мс2.
Если подумать, то это удивительно, что огромный булыжник будет падать с тем же ускорением, что и маленький камешек. Это значит, что если их сбросить с одной высоты, они упадут на землю одновременно.
При этом удобно, что для применения кинематических формул нам не нужно знать массу предмета, поскольку все падающие объекты будут иметь одно и то же вертикальное ускорение величиной g=9,81мс2, вне зависимости от массы, при условии, что мы пренебрегаем сопротивлением воздуха.
Обратите внимание, что g=9,81мс2 — это абсолютная величина ускорения свободного падения. Если положительным направлением считать направление вверх, тогда ускорение свободного падения необходимо поставлять в кинематические формулы с минусом: ay=9,81мс2
Предупреждение. Не забывайте об этом минусе, это одна из самых распространённых ошибок при использовании кинематических формул.

Как выбрать и использовать кинематическую формулу?

При выборе подходящей кинематической формулы необходимо взять ту, в которую входят неизвестная величина и три известных кинематических величины. Таким образом, в формуле окажется всего одна неизвестная переменная, которую можно выразить через известные величины и найти.
Например, представьте, что книгу, лежащую на земле, подтолкнули вперёд с начальной скоростью v0=5 м/с, после чего за t=3 с книга переместилась на расстояние Δx=8 м. Чтобы найти неизвестное ускорение книги a (при условии, что оно постоянно), мы можем воспользоваться формулой Δx=v0t+12at2, поскольку значения всех остальных переменных в этой формуле, кроме a, нам известны: Δx,v0,t.
Подсказка для решения задач. Обратите внимание, что в каждой кинематической формуле отсутствует какая-нибудь одна из пяти переменных: Δx,t,v0,v,a.
1.v=v0+at(В этой формуле отсутствует Δx.)
2.Δx=(v+v02)t(В этой формуле отсутствует a.)
3.Δx=v0t+12at2(В этой формуле отсутствует v.)
4.v2=v02+2aΔx(В этой формуле отсутствует t.)
Чтобы выбрать подходящую для вашей задачи кинематическую формулу, определите, значение какой переменной вам не дано и не требуется найти. Например, в приведённой выше задаче нам не дана и не спрашивается конечная скорость книги v, а значит, нам потребуется формула, в которой v вообще никак не фигурирует. Конечная скорость v отсутствует в формуле Δx=v0t+12at2, значит, она подойдёт для нахождения ускорения a.

Как вывести первую кинематическую формулу, v=v0+at?

Эту формулу, пожалуй, вывести проще всего, она получается небольшим преобразованием определения ускорения. Возьмём определение ускорения:
a=ΔvΔt
Теперь заменим Δv на определение изменения скорости — на vv0.
a=vv0Δt
Наконец, выразим v и получим
v=v0+aΔt
И если мы договоримся вместо обозначения Δt использовать просто t, у нас как раз и получится первая кинематическая формула.
v=v0+at

Как вывести вторую кинематическую формулу — Δx=(v+v02)t?

Эту формулу очень удобно вывести если посмотреть на график скорости объекта, движущегося с постоянным ускорением. Таким образом, угловой коэффициент касательной к такому графику будет постоянным, а начинаться он будет с начальной скорости v0, как показано ниже.
Площадь под любым графиком скорости даёт нам перемещение Δx. Таким образом, площадь под данным графиком также даст перемещение Δx нашего объекта.
Δx= общая площадь
Как показано выше, эту площадь можно посчитать как сумму площадей голубого прямоугольника и красного треугольника.
Высота голубого прямоугольника равна v0, а ширина — t, таким образом, его площадь равна v0t.
Основание красного треугольника равно t, а высота — vv0, таким образом, площадь красного треугольника равна 12t(vv0).
Общая площадь фигуры будет равняться сумме площадей голубого прямоугольника и красного треугольника.
Δx=v0t+12t(vv0)
Раскрыв скобки, получим 12t
Δx=v0t+12vt12v0t
Упростим выражение, приведя подобные слагаемые с переменной v0
Δx=12vt+12v0t
И наконец, перепишем правую часть, чтобы получить вторую кинематическую формулу.
Δx=(v+v02)t
Эта формула интересна тем, что, разделив обе части на t, мы получим выражение Δxt=(v+v02). Это значит, что средняя скорость Δxt равняется среднему арифметическому начальной и конечной скоростей v+v02. Однако это верно только в случае постоянного ускорения, поскольку данную формулу мы вывели для графика скорости с постоянным угловым коэффициентом (то есть с постоянным ускорением).

Как вывести третью кинематическую формулу — Δx=v0t+12at2?

Есть несколько способов вывести формулу Δx=v0t+12at2. В частности, есть красивый наглядный геометрический способ и менее красивый алгебраический, со множеством преобразований. Давайте сначала рассмотрим красивый геометрический.
Рассмотрим график объекта, начальная скорость которого равна v0, конечная — v, а ускорение постоянно.
Поскольку площадь под графиком скорости соответствует перемещению Δx, значит, каждое слагаемое в правой части формулы Δx=v0t+12at2 соответствует некой площади на показанном выше графике.
Слагаемое v0t соответствует площади голубого прямоугольника, поскольку Sпрямоугольника=hw.
Слагаемое 12at2 соответствует площади красного треугольника, поскольку Sтреугольника=12bh.
Вот и всё. Формула Δx=v0t+12at2 верна, поскольку перемещение равно общей площади под графиком. Мы предположили, что график скорости представляет собой наклонную прямую, а значит, мы смогли воспользоваться формулой площади треугольника. Таким образом, эта кинематическая формула, как и все остальные, верна лишь при условии постоянного ускорения.

Вот альтернативное доказательство этой формулы. Третью кинематическую формулу можно получить, подставив первую (v=v0+at) во вторую (Δxt=v+v02).
Возьмём вторую кинематическую формулу
Δxt=v+v02
и подставим вместо v значение v=v0+at, получим
Δxt=(v0+at)+v02
Разделим в правой части числитель на знаменатель и получим
Δxt=v02+at2+v02
Приведём подобные слагаемые, сложив v02, получится
Δxt=v0+at2
И наконец, умножив обе части равенства на t, получим третью кинематическую формулу.
Δx=v0t+12at2
Опять же, мы воспользовались другими формулами, которые верны только при постоянном ускорении, следовательно, третья кинематическая формула также верна лишь при условии, что ускорение постоянно.

Как вывести четвёртую кинематическую формулу — v2=v02+2aΔx?

Чтобы вывести четвёртую кинематическую формулу, возьмём вторую кинематическую формулу:
Δx=(v+v02)t
Наша задача — исключить из этой формулы время t. Для этого выразим из первой кинематической формулы v=v0+at время, получив t=vv0a. Если мы подставим это выражение вместо времени t во вторую кинематическую формулу, получится
Δx=(v+v02)(vv0a)
Перемножив дроби в правой части равенства, получим
Δx=(v2v022a)
Выразив отсюда v2, получим четвёртую кинематическую формулу.
v2=v02+2aΔx

О чём нужно помнить, применяя кинематические формулы?

Многие забывают, что кинематические формулы верны только тогда, когда ускорение постоянно на протяжении рассматриваемого временного интервала.
Иногда известная переменная не задана в задаче явно, а скорее подразумевается с помощью кодовых слов. Например, «начинает движение из состояния покоя» означает, что v0=0, «тело сброшено» также означает, что v0=0, а «остановилось» означает, что v=0. Кроме этого, ускорение свободного падения считается равным g=9,81мс2, поэтому оно может не указывается в задачах на падающие предметы в явном виде, но подразумевается.
Многие забывают, что почти все кинематические переменные, кроме t, а именно — Δx,vo,v,a — могут принимать отрицательные значения. Пропущенный минус — довольно распространённая ошибка. Если направление вверх считать положительным, тогда значение ускорения свободного падения станет отрицательным: ag=9,81мс2.
При работе с третьей кинематической формулой, Δx=v0t+12at2, может потребоваться формула решения квадратных уравнений, см. ниже пример 3.
Также многие забывают, что несмотря на то что кинематические формулы верны для любого интервала времени, в течение которого ускорение остаётся постоянным, кинематические переменные, которые вы подставляете в формулы, должны соответствовать рассматриваемому временному интервалу. Иными словами, начальная скорость v0 должна соответствовать скорости объекта в начале интервала времени t. Аналогично, конечная скорость v должна соответствовать скорости в самом конце рассматриваемого интервала t

Как решать задачи с кинематическими формулами?

Пример 1. Первая кинематическая формула — v=v0+at

Резиновый шарик, наполненный водой, сбрасывается с крыши очень высокого здания.
Чему будет равна скорость этого шарика после t=2,35 с падения?
Будем считать направление вверх положительным, тогда известные нам величины будут равны
v0=0 (Поскольку шарик сброшен, он начинает движение из состояния покоя.)
t=2,35 с (Это временной интервал, в конце которого мы должны определить скорость.)
ag=9,81мс2(Ускорение равно ускорению свободного падения, поскольку шарик свободно падает с крыши.)
В рассматриваемом случае движение происходит по вертикали, поэтому мы будем использовать y в качестве переменной положения вместо x. На самом деле неважно, каким символом мы будем обозначать положение, просто в случае вертикального движения, как правило, используется буква y.
Поскольку перемещение Δy нам неизвестно и нас не просят найти Δy, поэтому мы воспользуемся первой кинематической формулой v=v0+at, где Δy отсутствует.
v=v0+at(Выбираем первую кинематическую формулу, поскольку в ней отсутствует Δy.)
v=0 м/с+(9,81мс2)(2,35 с)(Подставляем известные значения.)
v=23,1 м/с(Это и будет наш ответ!)
Обратите внимание. Конечная скорость получилась отрицательной, поскольку шарик с водой летел вниз.

Пример 2. Вторая кинематическая формула — Δx=(v+v02)t

Леопард бежит со скоростью 6,20 м/с, а увидев мираж в виде грузовика с мороженым, он разогнался до скорости 23,1 м/с за время 3,3 с.
Какое расстояние пробежал леопард, пока разгонялся с 6,20 м/с до 23,1 м/с?
Считая изначальное направление движения мотоциклиста положительным, выпишем известные нам переменные
v0=6,20 м/с (Начальная скорость леопарда)
v=23,1 м/с (Конечная скорость леопарда)
t=3,30 с (Время, в течение которого леопард разгонялся)
Поскольку ускорение a нам не дано и в задаче не требуют его найти, мы воспользуемся второй кинематической формулой для горизонтального направления Δx=(v+v02)t, в которой ускорение a отсутствует.
Δx=(v+v02)t(Выбираем вторую кинематическую формулу, поскольку в ней отсутствует a.)
Δx=(23,1 м/с+6,20 м/с2)(3,30 с)(Подставляем известные значения.)
Δx=48,3 м(Это и будет наш ответ!)

Пример 3. Третья кинематическая формула — Δx=v0t+12at2

Ученица устала выполнять домашнюю работу по кинематике и вертикально подбросила карандаш со скоростью 18,3 м/с.
Через какое время карандаш впервые окажется на 12,2 м выше изначального положения?
Будем считать направление вверх положительным, тогда известные нам величины будут равны
v0=18,3 м/с (изначальная скорость карандаша, направленная вверх)
Δy=12,2 м (мы хотим узнать время, за которое карандаш достигнет этой высоты.)
a=9,81мс2(карандаш летит с ускорением свободного падения.)
Поскольку конечная скорость v нам неизвестна, и её не требуют найти, мы воспользуемся третьей кинематической формулой для вертикального движения Δy=v0yt+12ayt2, в которой не хватает v.
Δy=v0yt+12ayt2(Выбираем третью кинематическую формулу)
Обычно мы проводим алгебраические преобразования, чтобы выразить неизвестную нам переменную. Но если все величины отличны от нуля, то выразить неизвестную переменную путём алгебраических преобразований не получится. Дело в том, что если все величины ненулевые, а t — неизвестная переменная, данное выражение становится квадратным уравнением. Вы сразу это увидите, если мы подставим известные нам значения.
12,2 м=(18,3 м/с)t+12(9,81 м с2)t2(Подставляем известные значения.)
Чтобы привести это выражение к более привычному нам виду квадратного уравнения, перенесём всё в одну часть. Вычитая 12,2 м из обеих частей равенства, получим:
0=12(9,81 м с2)t2+(18,3 м/с)t12,2 м(Приводим выражение к виду квадратного уравнения.)
Дальше мы можем решить квадратное уравнение, чтобы найти t. Решение квадратного уравнения, записанного в виде at2+bt+c=0, находится по формуле t=b±b24ac2a. В нашей кинематической формуле a=12(9,81 м с2), b=18,3 м/с, и c=12,2 м.
Итак, подставляя значения в формулу решения квадратного уравнения, получаем:
t=18,3 м/с±(18,3 м/с)24[12(9,81 м с2)(12,2 м)]2[12(9,81 м с2)]
Поскольку в формуле стоит знак «плюс-минус», мы получим два возможных значения для времени t: одно со знаком +, а второе со знаком . Из формулы выше получаются следующие решения:
t=0,869 с и t=2,86 с
существует два положительных решения, так как при таком виде движения карандаш дважды окажется на высоте 12,2 метра. Меньшее значение соответствует моменту, когда карандаш летит вверх и окажется на высоте 12,2 м. Большее значение соответствует моменту, когда карандаш пролетит мимо точки 12,2 м, достигнет максимальной высоты, а затем снова упадёт до 12,2 м.
Поэтому, чтобы ответить на вопрос, через какое время карандаш впервые окажется на 12,2 м выше изначального положения, мы возьмём меньший результат t=0,869 с.

Пример 4. Четвёртая кинематическая формула — v2=v02+2aΔx

Мотоциклист стартует на скорости 23,4 м/с, но, заметив перед собой плотное движение, решает притормозить и замедляется 50,2 м с постоянным ускорением, модуль которого равен 3,20 м с2
Чему равна новая скорость мотоциклиста, после того как он замедлился на протяжении 50,2 м?
Считая изначальное направление движения мотоциклиста положительным, выпишем известные нам переменные
v0=23,4 м/с (Изначальная скорость мотоцикла, движущегося вперёд)
a=3,20 м с2 (Ускорение отрицательно, поскольку мотоцикл замедляется, а положительным направлением мы считаем направление движения вперёд.)
Δx=50,2 м (Мы хотим найти скорость после того, как перемещение мотоциклиста будет равно этому значению.)
Поскольку нам не известно t, и нас не просят найти время, мы воспользуемся четвёртой кинематической формулой vx2=v0x2+2axΔx, где отсутствует t, для горизонтального движения.
vx2=v0x2+2axΔx(Выбираем четвёртую кинематическую формулу.)
vx=±v0x2+2axΔx(При помощи алгебраических преобразований выразим конечную скорость.)
Обратите внимание, что при извлечении корня мы получим два решения: положительное и отрицательное. Поскольку наш мотоциклист продолжается двигаться вперёд, а его изначальное направление движения мы приняли за положительное, нас будет интересовать положительный ответ vx=+v0x2+2axΔx.
Теперь мы можем подставить значения и получим:
vx=(23,4 м/с)2+2(3,20 м с2)(50,2 м)(Подставляем известные значения.)
vx=15,0 м/с(Это и будет наш ответ!)

Хотите присоединиться к обсуждению?

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.