С какой скоростью упадёт объект с учётом высоты

В этом видеоуроке я хочу рассмотреть очень старый и в то же время весьма интересный для меня вопрос. Этот вопрос таков. Допустим, есть утёс. Утёс, скала или какое-нибудь здание. И пусть оно имеет высоту h. Вот здесь. Меня интересует вот что: я нахожусь здесь. Если бы я спрыгнул или бросил некоторое тело, например камень, с этого уступа, как быстро я сам или тот камень будем двигаться перед самым ударом о землю? Как и во всех других видеоуроках о движении брошенного тела, мы будем пренебрегать сопротивлением воздуха, что для малых h и малых скоростей действительно разумно. Или если тело имеет обтекаемую форму. Тогда сопротивление воздуха не будет иметь никакого значения. И напротив, когда я, распластавшись, падаю с большой высоты, то сопротивление воздуха играет большую роль. Но для простоты будем считать, что воздуха нет, или мы не учитываем влияние сопротивления воздуха. Предположим, что мы делаем это на Земле, у которой нет атмосферы. Это можно представить себе по-разному. Давайте просто поразмышляем о задаче. Возможно, некоторые из вас скажут, что это не реалистично. Да, но это будет реалистичным для малой h. Если вы спрыгнете с одноэтажного здания, то сопротивление воздуха не будет важным фактором, влияющим на вашу скорость. Если бы это было высотное здание, тогда h имела бы значение. Я не рекомендую вам делать такие вещи, так как это очень опасно, и лучше проделать это с камнем. На самом деле это всего лишь пример, который мы будем рассматривать. Итак, давайте просто поразмышляем об этом. Мы хотим выяснить… Наверху, когда камень начинает падать, начальная скорость равна нулю. И снова мы будем придерживаться соглашения, что положительный вектор означает «вверх», а отрицательный вектор означает «вниз». Итак, начальная скорость — нуль, внизу будет некоторая конечная скорость. Она будет отрицательным числом, или отрицательной величиной. Мы будем полагать, что ускорение силы тяжести для тела в состоянии свободного падения вблизи поверхности Земли постоянно. Таким образом, наше постоянное ускорение будет −9,8 метров в секунду в квадрате. Дано: h, начальная скорость, равная нулю, и ускорение силы тяжести, равное 9,8. Мы хотим вычислить, чему будет равна конечная скорость перед самым ударом о землю. Будем считать, что h дана в метрах, и ответ будет в метрах в секунду для этой конечной скорости. Итак, нам известны некоторые основные понятия. Мы всегда можем вывести более интересные вещи из наиболее общих понятий, которые нам известны. Итак, нам известно, что перемещение равно средней скорости, умноженной на изменение времени. Также нам известно, что средняя скорость, если мы считаем ускорение постоянным, равна: конечная скорость плюс начальная скорость, делённое на 2. Изменение времени — это изменение скорости, делённое на ускорение. Чтобы вам наверняка было понятно, я скажу, что это следует непосредственно из того, что изменение скорости — это просто ускорение, умноженное на изменение времени. Разделив обе части этого уравнения на ускорение, мы получим вот что. Вот чему равно наше перемещение. Я хотел бы напомнить, что выражение для перемещения, записанное в общем виде, нам известно. И величины, которые мы хотим найти… Так, например, вот здесь нам известна пара величин. Мы знаем, что начальная скорость равна нулю. Итак, первое выражение в том примере, которым мы занимаемся. Средняя скорость будет равна конечной скорости, делённой на 2, так как начальная скорость равна нулю. Изменение скорости — это то же самое, что конечная скорость минус начальная скорость. Повторю, что начальная скорость равна нулю, так что наше изменение скорости фактически равно конечной скорости. Итак, это умножается на… Вместо того чтобы писать «изменение скорости», мы можем просто написать «конечная скорость», потому что мы начали с нуля. Начальная скорость равна нулю… Умножается на конечную скорость, делённую на ускорение. Ещё раз: конечная скорость равна изменению скорости, потому что начальная скорость была нулевой. И всё это будет равно перемещению. Теперь оно выражено через величины, которые нам известны. Если мы умножим обе стороны этого выражения на 2, умноженное на ускорение, с левой стороны мы получим 2, умноженное на ускорение и умноженное на перемещение. Это будет равно с правой стороны… Два сокращается с двумя, ускорение сокращается с ускорением… Это будет равно конечной скорости в квадрате. Конечная скорость в квадрате, конечная скорость, умноженная на конечную скорость. Итак, отсюда мы можем выразить конечную скорость. Мы знаем, чему равно ускорение. Оно составляет −9,8 метров в секунду в квадрате. Итак, оно равно −9,8 метрам в секунду в квадрате. В результате это −19,6 метров в секунду в квадрате. Чему будет равно наше перемещение? Перемещение во время падения этого камня с этого уступа или крыши. Возможно, вам хочется сказать, что наше перемещение равно h. Но не забывайте, что это векторные величины, так что вам нужно убедиться, что вы правильно указываете направления. Отсюда камень начинает движение, а здесь он его заканчивает. Как он это делает? Он будет проходить путь h вниз, а по нашему соглашению «вниз» — это отрицательное значение. В этом примере перемещение — отсюда, где камень выпал из руки, сюда, где он столкнулся с землёй. Перемещение будет равно −h. Камень пройдёт путь h. Но он пройдёт этот путь вниз. Вот почему указывать направление очень важно. Наше перемещение вот здесь будет −h метров. Когда мы перемножаем эти две величины, минусы сокращаются. И мы получаем 19,6h метров в квадрате на секунду в квадрате. Это равно конечной скорости в квадрате. Заметьте, когда вы возводите в квадрат некоторую величину, вы теряете информацию о знаке. Если конечная скорость положительна, и вы возводите её в квадрат, вы получаете положительное значение. Если она была отрицательной, то вы снова получите положительное значение. Вспомним, что в этом примере мы движемся вниз. Итак, мы хотим отрицательный вариант этого. Чтобы на практике вычислить конечную скорость, мы возьмём отрицательный квадратный корень из обеих частей уравнения. Итак, если мы возьмём квадратный корень из обеих частей равенства, то получим (я поменяю их друг с другом) конечную скорость, равную квадратному корню из 19,6h. Можно даже взять квадратный корень из метров в квадрате на секунду в квадрате. Рассматривайте их как переменные, несмотря на то, что они являются единицами, и, вынося их за знак корня, вы получите метры в секунду. Но будьте внимательны при этом: арифметическое значение корня в данном случае представляет собой положительный квадратный корень. Нам известно, что скорость должна быть направлена вниз. Потому что мы так договорились. Мы хотим убедиться, что получаем отрицательный квадратный корень. Давайте попытаемся разобраться с некоторыми числами. На самом деле мы решили ту задачу, которую поставили в начале этого видеоурока: как быстро мы бы падали в зависимости от высоты. Давайте попробуем разобраться с такой величиной. Пусть, скажем, высота равна 5 метрам. Вероятно, это высота одноэтажного здания. Это приблизительно 15 футов. На уровне крыши магазина. Итак, что мы получаем? Если мы подставим 5 метров сюда, то получим 19,6, умноженное на 5, что даёт нам 98, то есть почти 100. Затем мы хотим взять квадратный корень из него. Итак, квадратный корень из 98 — это примерно 9,9. Нам нужен отрицательный квадратный корень из этого. В этой ситуации, если прыгнуть с крыши одноэтажного здания, высота которого равна 5 метрам, в самом низу скорость будет −9,9 метров в секунду. Итак, −9,9 метров в секунду. В качестве упражнения вам нужно определить, сколько это будет километров в час или миль в час. Это довольно быстро. Не очень-то приятно падать с такой скоростью. Но вы можете вычислить это. Вы можете использовать это действительно при любой высоте достаточно близко к поверхности земли, где можно пренебречь влиянием сопротивления воздуха. На очень большой высоте, когда тело не очень обтекаемое, сопротивление воздуха имеет большое значение. Subtitles by the Amara.org community