Введение в арксинус

представьте что на уроке у вас спрашивают чему равен синус пи на 4 вы предположите что аргументы в радианах и либо вы запомнили это значение либо мысленно начертите единичную окружность вы отложите угол равны и пины 4 это то же самое что 45 градусов и синус определяется как y координаты на единичной окружности то есть нас интересует вот это значение давайте я отдельно начерчу получившийся треугольник он у нас выглядит примерно вот так этот угол 45 градусов этот тоже 45 градусов а этот 90 градусов а дальше можно вычислить длину катета в такого треугольника его гипотенуза равна единице этот катет равен x это тоже x длины этих катетов равны это у нас равнобедренный треугольник поскольку углы при гипотенузы равны по теореме пифагора x в квадрате плюс x в квадрате равно единице в квадрате отсюда 2 x квадрат равно единице x в квадрате равен 1 2 значит x равен корню квадратному из 1 2 это равно единице деленный на корень из 2 мы можем избавиться от иррациональности в знаменателе умножив это число на корень из двух деленный на корень из 2 получается что x равен корню из 2 пополам следовательно мы нашли длину этих двух катетов однако нам нужно найти синус то есть вот эту высоту треугольника y координату точки отсюда синус равен корню из 2 пополам это все повторение прошлого материала я рассказывала об этому видео роликах о единичной окружности а теперь представьте что на следующий день учителя у вас спрашивает чему равен арксинус корня из 2 пополам и вы будете в замешательстве вы знаете что такое синус угла а тут с вас спрашивают какую то новую тригонометрическую функцию приставка арк означает что я имею в виду функцию обратную синусу в зарубежных источниках вы можете встретить вот такая чения функция обратная синусу обратная функция означает от какого угла нужно взять синус чтобы получилось корень из двух пополам арксинус означает то же самое синус какого угла будет равняться корню из двух пополам оба этих варианта можно записать следующим образом синус какого угла равен корню из 2 пополам и на такой вопрос в такой формулировке вам ответить проще мы только что выяснили что синус пи на 4 равен корню из 2 пополам а значит под вопросительным знаком скрывается пины 4 или можно записать так арксинус корня из 2 пополам равен пи на 4 таким образом по сути я даю вам некое значение и спрашиваю синус какого угла равен этому значению но вы можете возразить постойте-ка pin 4 то есть 45 градусов это правильный ответ но я могу много раз добавить 360 градусов то есть два пи и каждый раз синус получившегося угла будет равен корню из 2 пополам потому что мы попадем в ту же точку и вы будете правы поэтому вам может показаться что любой из полученных таким образом углов будет ответом на мой вопрос ведь если вы возьмете любой такой угол прибавив к пины 4 сколько угодно раз два и то синус такого угла тоже будет равен корню из 2 пополам возникает проблема функция f от x не может иметь несколько значений при одном и том же значении x значение функции не может одновременно равняться pin 4 pin 4 + 2пи и на 4 плюс 4 пи и так далее а значит чтобы функция арксинуса стала корректный я должна ограничить ее область значений но давайте сначала посмотрим на ее область определения я беру значение функция арксинуса от некоего числа x и говорю что оно равно не к ему углу тета какая у этой функции область определения какие возможные значения может принимать x если я беру синус некоего угла я могу получить число в промежутке от -1 до 1 а значит x может принимать значения от минус единицы до плюс единицы вот такая у арксинуса область определения а как мы ограничим ею область значений математики договорились ограничивать область значений арксинуса 1 и 4 четвертями то есть арксинус может принимать значения из вот такого диапазона единичной окружности таким образом ты это должно быть меньше или равно пи пополам и больше или равно минус и пополам теперь когда мы знаем что такое арксинус давайте решим ещё одну задачу представьте что вас спрашивают чему равен арксинус минус корня из 3 пополам вы можете сразу вспомнить синус какого угла равен минус корню из 3 пополам но я не помню табличных значений поэтому снова нарисую единичную окружность и если я нахожу арксинус мне достаточно начертить первую и четвертую четверти единичной окружности это у меня ось y а это ось x и где находится искомая . если синус некоего угла равен минус корню из 3 пополам это значит что y координаты соответствующей точке равна минус корню из 3 пополам следовательно мы находимся примерно вот здесь и это у нас точка с y координатой минус корень из 3 пополам какой угол соответствует этой точке давайте подумаем вот он наш искомый угол он будет отрицательным поскольку мы спустились ниже оси x по часовой стрелке давайте я построю вот такой треугольник и начерчу его отдельно вот наш искомый угол тета чему равна длина вот этого катета она соответствует модулю и y координаты y координата отрицательная и не будем забывать что угол это тоже должен получиться отрицательным возможно вы сразу узнали треугольник 30 60 90 у такого угольника один катет равен корню из 3 пополам второй катет равен одной второй оги потянулся равна единице поскольку гипотенуза это у нас радиус единичной окружности в таком треугольнике угол лежащий напротив стороны корень из 3 пополам равен 60 градусам а второй острый угол равен 30 градусам таким образом угол тета равен 60 градусам но поскольку мы откладываем его в отрицательном направлении он будет равен минус 60 градусов и так ты это равно минус 60 градусов но градусы нам не подходят мы работаем и в радианах поэтому это значение нужно умножить на пир и диан соответствующие 180 градусам градусы сокращаются получается ты это равно минус pin 3 радиан таким образом вы можете ответить что арксинус минус корня из 3 пополам равен минус п на 3 радиан зарубежной литературе или на иностранных калькуляторах вы можете увидеть такую запись обратный синус от минус корни из 3 пополам равен минус pin 3 радиан чтобы убедиться правильно ли мы нашли ответ давайте вычислим его на калькуляторе я уже перевела его в режим радиан надеюсь ответ совпадет и здесь как раз используется аннотация обратного синуса обратный синус от минус корня квадратного из 3 разделить на 2 получается примерно минус 1 целое 4 сотых запишем это приблизительно равно минус 1 целый четырехсотым радио на минус pin 3 должно получится примерно равным одной целой четырехсотым давайте проверим минус и разделить на 3 что получается получается точно такое же значение нам пришлось это проверить потому что по десятичной дроби не видно что она равна минус pin 3 спасибо что посмотрели наше видео надеемся что вам понравилось поддержите наш проект подпиской и посмотрите остальные видео из этой темы