Средняя скорость при постоянном ускорении

Цель данного видеоурока в том, чтобы изучить некоторые понятия или формулы, которые вы можете встретить на уроках физики, но что ещё важнее — увидеть, что они действительно представляют обобщённые и понятные идеи. Давайте начнём с простого примера. Но сначала договоримся, что на протяжении данного урока я не буду каждый раз повторять, что это величина скорости, это направление скорости и так далее. Например, если у меня положительная скорость, то это значит, что я двигаюсь вправо, и, скажем, если у меня есть отрицательное число, которое в данном уроке нам не встретится, то мы будем считать, что я двигаюсь влево и, таким образом, я смогу просто записать число. Мы работаем только в одном измерении. То есть нам известна и величина, и направление. Если я сказал, что скорость была 5 м/с, это означает 5 м/с вправо. Если я сказал, что она отрицательна, т. е. минус 5 м/с, это означает 5 м/с влево. Теперь, чтобы упростить работу, давайте скажем, что, если мы начинаем движение с начальной скоростью, мы начинаем двигаться с начальной скоростью 5 м/с. И вновь вместе с величиной я указываю и направление в соответствии с этим условием. Мы знаем, что движемся вправо, допустим, что у нас постоянное ускорение. Мы имеем дело с постоянным ускорением 2 м/с за секунду или 2 м/с в квадрате. Поскольку оно положительно, то оно направлено вправо, и допустим, что мы движемся в течение 4 с. Моё изменение времени составляет… («с» в этом уроке означает секунды). Я хочу узнать, как далеко мы переместимся. Возникает два вопроса. Как далеко и насколько быстро мы передвигаемся за 4 секунды? Давайте нарисуем здесь небольшой график и по одной оси отметим мою скорость, а по другой — моё время. (Нарисуем более прямую линию) Это моя ось времени. Это скорость (моя скорость здесь). Я начинаю с 5 м/с. Здесь это 5 м/с вправо. Vi равна 5 м/с, и затем каждую последующую секунду я двигаюсь на 2 м/c быстрее. То есть в следующую секунду, которая проходит после первой, я буду двигаться на 2 м/с быстрее. Поэтому я буду двигаться уже со скоростью 7 м/с. Другими словами, наклон линии, которая изображает скорость на графике, является моим постоянным ускорением. Наклон здесь постоянный. Это могло бы выглядеть как-то так. Что же произошло через 4 секунды? Это моя дельта t. Получается, моя конечная скорость вот здесь. (Я сделаю запись ниже, чтобы не заходить на слово «скорость»). Это моя конечная скорость. Чему она равна? Я начинаю с 5 м/с. Воспользуемся двумя способами, используя переменные и именованные числа. Я начинаю с какой-то начальной скорости (индекс i указывает на то, что она начальная). В каждую последующую секунду я двигаюсь вот настолько быстрее. Если я хочу узнать, насколько быстрее, я умножаю количество пройденных секунд на ускорение. И эта величина… (Я просто написал индекс «c», который означает, что ускорение постоянно). Для того чтобы узнать, как быстро я двигался (например, с этого момента), надо умножить прошедшее время на наклон. Я поднимусь на эту высоту и узнаю мою конечную скорость. Чтобы было понятно, просто обратимся к числам. Они могут быть любыми, для наглядности я взял их произвольно. У нас 5 м/с плюс 4 секунды… (выделим это жёлтым) плюс 4 секунды, умноженные на ускорение 2 м/с в квадрате. Чему это будет равно? Секунды сокращаются с секундами в знаменателе, вот здесь. У нас 4 умножается (давайте запишем)... 5 метров в секунду плюс 4, умноженное на 2, получается 8. Эти секунды сократились, остались м/с. 13 м/с является нашей конечной скоростью. Надеюсь, данный пример понятен. Мы начинали двигаться со скоростью 5 м/с. Каждую последующую секунду мы будем двигаться на 2 м/с быстрее. Таким образом, через 1 секунду наша скорость будет 7 м/с, через 2 секунды — 9 м/с. Через 3 секунды — 11 м/с. И наконец, через 4 секунды наша скорость будет составлять13 м/с. Вы умножаете прошедшее время на ускорение, то есть на величину того, насколько быстрее мы будем двигаться. Мы уже движемся со скоростью 5 м/с, 5 плюс насколько быстрее, получается 13 м/сек. Я сделаю здесь небольшую паузу, надеюсь, что сказанное вам понятно. Смысл состоит в том, чтобы показать, что эта формула, которую вы часто будете видеть во многих учебниках физики, не является чем-то случайно взятым из воздуха. Всё довольно логично. Теперь следующий вопрос, на который я хочу ответить: каково общее расстояние, которое мы преодолели? Из последнего видеоурока мы знаем, что расстояние — это просто область под линией вот здесь. Это площадь под этой линией. Как вы видите, она имеет довольно странную форму вот здесь. Как вычислить её площадь? Обратимся к простой геометрии для того, чтобы разбить эту фигуру на две области. Их площади вычислить очень легко. Выделим прямоугольную фигуру здесь (отметим её синим цветом). Площадь прямоугольника вычислить не трудно. Выделим треугольник (отметим его фиолетовым цветом). Его площадь тоже легко вычислить. Это и будет общим расстоянием, которое мы преодолели. Здесь, надеюсь, всё предельно просто. Так как эта синяя область представляет собой расстояние, на которое мы бы переместились, если бы двигались без ускорения со скоростью 5 м/с в течение четырёх секунд. Итак, вы движетесь от времени 0 секунд до времени 4 секунды. Ваше изменение времени составляет 4 секунды, так что если вы движетесь со скоростью 5 м/с в течение 4 секунд, вы преодолеете 20 метров. Это площадь этой фигуры. 5 умножить на 4. Эта пурпурная (или фиолетовая) фигура показывает, насколько дальше вы окажетесь. Так как вы движетесь с ускорением, вы продолжаете двигаться всё быстрее и быстрее. Эту площадь рассчитать довольно легко. Основание здесь равно 5, так как именно 5 секунд прошло. А какова здесь высота? Высотой здесь является моя конечная скорость минус моя начальная скорость. Или она представляет собой изменение скорости впоследствии ускорения. 13 минус 5 равно 8. Получается 8 м/с. Таким образом, высота составляет здесь 8 м/c. При этом основание вот здесь равно 4 секундам. То есть это время, которое прошло. Чему же равна площадь этого треугольника? Площадь треугольника равна 1/2 основания. Оно составляет 4 секунды, умноженное на высоту 8 м/с. При умножении секунды сокращаются. ½, умноженная на 4, равна 2, и умноженная на 8 равна 16 метрам. Общее расстояние, которое мы проехали — 20 плюс 16 равно 36 метрам. Это итоговая величина, или, по-другому, полное перемещение. Движение вправо (так как оно является положительным) это наше перемещение. Теперь я хочу сделать те же самые расчёты, но сохранить их в общем виде. Это даст ещё одну формулу, которую многие люди часто запоминают. Я хочу, чтобы вы поняли, что это простая формула, и она вытекает из некоторой логической цепочки рассуждений, которую мы составили в этом видеоуроке. Чему равна площадь? (Если мы рассуждаем на языке переменных). Площадь этого прямоугольника вот здесь — это наша начальная скорость, умноженная на наше изменение времени. Это показано синим цветом (это синий прямоугольник вот здесь). И затем плюс… Что мы должны сделать? У нас есть изменение времени. Умножаем высоту, которая является нашей конечной скоростью, вычитаем нашу начальную скорость (все они являются векторами) (они положительны, что говорит нам о том, что мы движемся вправо). Если мы просто умножим основание на высоту, мы получим площадь всего этого прямоугольника. Мы должны взять от неё половину, потому что треугольник — это лишь половина этого прямоугольника. Поэтому, умножая на 1/2, получаем площадь (это фиолетовая фигура). Это не фиолетовая, фиолетовая фигура вот здесь. Это площадь этого, а это площадь вот этого. Давайте упростим запись. Вынесем за скобки дельта t. Если вы вынесете дельта t, вы получите дельта t, умноженную на всё вышеперечисленное. Vi — ваша начальная скорость... Мы вынесем этот множитель. Плюс вот это. Плюс это вот здесь. Мы можем распределить 1/2. Мы вынесли за скобки дельта t. Давайте умножим на 1/2 каждую из этих величин. Это будет плюс 1/2, умноженная на Vf, нашу конечную скорость. (Это не тот цвет, позвольте мне сделать это в нужном цвете, чтобы вы понимали, что я делаю). Это 1/2 плюс 1/2, умноженная на конечную скорость, минус 1/2, умноженная на начальную скорость. (Я выделю это синим). Минус 1/2, умноженная на начальную скорость. Как это упрощается? У нас есть некоторая величина плюс 1/2, умноженная на другую величину, и ещё минус 1/2, умноженная на какую-то исходную величину. Что же такое Vi минус 1/2, умноженная на Vi? Итак, величина минус её половина — это положительная половина величины. Получается, что эти два члена — эта величина и эта сводятся к 1/2 Vi, 1/2 начальной скорости плюс 1/2, умноженная на конечную скорость. И всё это, умноженное на наши изменения времени, или время, которое прошло. Всё это говорит о том, какое расстояние мы преодолели. Можно записать эту формулу по-другому, то есть вынести 1/2. Вы получите, что расстояние равно изменению времени, умноженному на ½, которую мы вынесли. Vi плюс Vf (нет, это не тот цвет). Vi плюс Vf Интересно, что расстояние, которое мы преодолели, равно 1/2 от начальной скорости плюс конечная скорость. Если вы просто подставите это значение вот сюда, то это просто… Это среднее арифметическое этих двух чисел. Я собираюсь определить это как некоторое новое понятие. Я буду называть это средней скоростью. Мы должны быть очень осторожны с ней. Справа здесь — это средняя скорость. Но единственной причиной, почему я могу просто взять начальную скорость, конечную скорость и сложить их, а потом разделить на два (здесь, на самом деле, мы берём среднее от этих двух величин, которое будет где-то здесь)... (я считаю это средней скоростью), Причиной является то, что мое ускорение постоянно. Это стандартное предположение на начальных уроках физики. Но условие таково не всегда. Но если у вас есть постоянное ускорение, вы можете предположить, что средняя скорость будет средним начальной и конечной скоростей. Если бы это была кривая, и ускорение было изменяющимся, то вы не смогли бы этого сделать. Но польза в том, что если вы хотите вычислить расстояние, которое было пройдено, вам просто необходимо знать начальную скорость и конечную скорость, получить среднюю скорость, а затем умножить это на пройденное время. Так что в данном случае, наша конечная скорость 13 м/с. Начальная скорость 5 м/с. 13 плюс 5 равно 18. Вы делите это на два. Ваша средняя скорость 9 м/с (если взять среднее 13 и 5). Тогда 9 м/с, умноженное на 4 секунды, даёт 36 метров. Надеюсь, что вы не запутаетесь. Я просто хотел показать здесь вам некоторые из понятий, с которыми вы встретитесь на своём уроке физики. Subtitles by the Amara.org community