Почему расстояние — это область под графиком скорости в зависимости от времени

Давайте возьмем тело, движущееся с постоянной векторной скоростью 5 м/с, и предположим, что оно движется вправо, то есть зададим направление, потому что это векторная величина. Итак, тело движется в этом направлении, сюда. И построим график его векторной скорости в зависимости от времени. Вот моя векторная скорость. Вообще-то я построю только величину векторной скорости, а вы можете обозначить ее вот так: |v| Итак, это величина векторной скорости. А затем на этой оси я построю время. У нас постоянная скорость 5 м/с. Итак, постоянная скорость 5 м/с, ее величина 5 м/с и она постоянна она не изменяется с течением времени, векторная скорость не изменяется. Так что тело движется со скоростью 5 м/с. И у меня возникает к вам вопрос: как далеко окажется это тело через 5 секунд? Через 5 секунд. Итак, это 1 с...2 с... 3 с... 4 с... 5 с... вот здесь. Как далеко окажется это тело через 5 секунд? Мы можем использовать два способа решения. Первый - Мы знаем, что векторная скорость равна перемещению, деленному на изменение времени, а перемещение – это просто изменение положения. Итак, это изменение положения, деленное на изменение времени. Изменение положения деленное на изменение времени! Второй способ - если умножить обе части на изменение времени, мы получаем, что векторная скорость, умноженная на изменение времени, равна перемещению. Чему было равно перемещение вот здесь? Я знаю, что векторная скорость здесь 5 м/с. 5 м/с, это векторная скорость (я выделю это другим цветом). И мы знаем, что изменение времени здесь составляет 5 секунд, итак, мы получаем... секунды сокращаются с секундами... мы получаем 5*5 = 25 метров. Это довольно прямолинейно. Но немного более интересно то, что это значение в точности равно площади под этим прямоугольником. Я хочу... Вот здесь. Я хочу показать вам в этом видео-уроке, что, вообще говоря, если построить векторную скорость, величину векторной скорости... То можно будет сказать, что это зависимость векторной скорости от времени... или давайте я оставлю «величину векторной скорости» в зависимости от времени. Площадь под этой прямой будет равна пройденному пути или перемещению, потому что перемещение – это векторная скорость, умноженная на изменение времени. Так что если вы просто возьмете прямоугольник давайте нарисуем немного другой график, где изменяется векторная скорость. Итак, приведем еще один пример, когда у вас постоянное ускорение. Ускорение здесь будет 1 м/с/с, т. е. 1 м/с^2, и давайте нарисуем график такого же типа. Он будет выглядеть по-другому. Это моя ось векторной скорости. Я займу немного больше места. Это моя ось векторной скорости. Я просто хочу нарисовать величину векторной скорости, и это здесь моя ось времени. Итак, это время, давайте отметим кое-что здесь. Итак, 1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10 и 1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 10 Величина векторной скорости будет измеряться в м/с, а время будет измеряться в секундах. Итак... Что же здесь получается? Если предположить, что мы начинаем с... итак, моя начальная векторная скорость, или я мог бы сказать величина моей начальной векторной скорости, пусть это будет просто моя начальная векторная скорость, это просто причудливый способ сказать, что моя начальная векторная скорость... равна нулю. Итак, моя начальная векторная скорость равна 0. Что произойдет через 1 секунду? Через 1 секунду я буду двигаться на 1 м/с быстрее. Так что теперь я двигаюсь со скоростью 1 м/с. Что произойдет через 2 секунды? Теперь я двигаюсь еще на 1 м/с быстрее. Еще через секунду, если я иду вперед по времени, и если изменение времени составляет 1 секунду, то я буду двигаться еще на метр в секунду быстрее. А если вы помните смысл наклона из вашего урока «Алгебра 1», это именно то, что собой представляет ускорение на этом графике. Мы знаем, что ускорение равно изменению векторной скорости, деленному на изменение времени, здесь изменение времени вдоль оси X. Итак, вот здесь изменение времени, вдоль оси X вот здесь изменение времени. а вот здесь изменение векторной скорости Когда мы строим векторную скорость или "величину векторной скорости" относительно времени, наклон этой прямой является ускорением. А так как мы предполагаем, что ускорение постоянно, у нас постоянный наклон, поэтому у нас здесь прямая, а не кривая. Теперь я хочу проанализировать следующий пример. Давайте предположим, что мы движемся с ускорением 1 м/с^2. При этом изменение времени составит 5 секунд. Вопрос: какой путь мы преодолели? Это более интересный вопрос, чем тот, который мы задавали до сих пор. Итак, начинаем с начальной векторной скоростью 0, а затем в течение 5 секунд мы движемся с ускорением 1 м/с^2. Итак, 1... 2... 3... 4... 5... Вот, где мы находимся. Таким образом, через 5 секунд мы знаем, что наша векторная скорость... наша векторная скорость теперь 5 м/с. Но какой путь мы преодолели? Мы можем рассуждать об этом и создать наглядный пример. Смотрите, мы могли бы попытаться нарисовать прямоугольники вот здесь. Мы были в… может быть, вот здесь, наша векторная скорость была 1 м/с. Если я скажу 1 м/с, умноженное на секунду, это даст мне небольшое расстояние... затем еще больший путь, полученный таким же образом. Я мог бы продолжать рисовать эти прямоугольники здесь. Но тогда вы... Подождите! Этих прямоугольников нет... потому что я не сделал ... для целой секунды... Я не просто двигался со скоростью 1 м/с... Я ускорялся. Так что вообще-то... Возможно, мне нужно разделить прямоугольники. Я мог бы нарисовать еще больше прямоугольников. Допустим, я буду отмечать каждые полсекунды. Итак, на этой половине секунды я двигался с этой векторной скоростью. Я двигаюсь с этой векторной скоростью в течение половины секунды. Векторная скорость, умноженная на время, даст мне перемещение, а затем я делаю это для следующей половины секунды – та же самая идея и здесь. Это даст мне перемещение, и так далее и тому подобное. Думаю, вам ясно: чем меньше здесь прямоугольники,тем больше вы приближаетесь к площади под этой прямой. И подобно ситуации здесь эта площадь под прямой будет представлять собой пройденный путь, и к нашей радости у нас получится простой треугольник. А мы знаем, как вычислить площадь треугольника. Площадь треугольника = (1/2) на основание умноженное на высоту, что, надеюсь, имеет смысл для вас, потому что если вы просто умножите основание * высоту, вы получите площадь для всего прямоугольника, а треугольник составляет ровно половину его. Таким образом, пройденный путь в этой ситуации, или я должен сказать перемещение, потому что мы акцентируем внимание на векторах, перемещение здесь будет… Или я должен сказать величина перемещения, что совпадает с понятием «путь»… будет 1/2, умноженная на основание, которое равно 5 секундам, умноженное на высоту, которая составляет 5 метров в секунду, и так... 5с умноженные на высоту которая составляет 5м/с так что умножаем на 5 м/с давайте, выделим это другим цветом Секунда сокращается с секундами у нас остается 1/2 умножить на 5 умножить на 5м таким образом это (1/2) * 25, что равно 12,5 метрам. И у нас здесь есть один любопытный факт. Точнее пара любопытных фактов. Надеюсь, вы понимаете, что если вы строите прямую векторной скорости в зависимости от времени, то 1) площадь под прямой, учитывая определенное время, указывает пройденный путь; 2) наклон прямой указывает ускорение. Каков наклон здесь? Прямая совершенно ровная, и это потому, что векторная скорость не меняется. Таким образом, в этой ситуации у нас постоянное ускорение. Величина этого ускорения в точности равна нулю. Вот здесь наша скорость не меняется. У нас ускорение 1 м/с^2, и именно поэтому наклон этой прямой здесь равен 1. Другой интересный момент заключается в том, что даже если у вас постоянное ускорение, вы все равно можете определить расстояние, вычислив площадь под прямой... вот таким образом. Итак, мы получили 12,5 метров. Последнее, с чем я хочу вас познакомить... Вообще-то давайте я сделаю это в следующем видео-уроке. Я познакомлю вас с понятием «средней векторной скорости», поскольку теперь мы понимаем, что пройденный путь является площадью под прямой зависимости векторной скорости от времени. Subtitles by the Amara.org community