Основное содержание

Course: Тригонометрия > Модуль 1

Урок 4: Нахождение угла в прямоугольном треугольнике при помощи тригонометрических соотношений

Введение в обратные тригонометрические функции

Узнайте, что такое арксинус, арккосинус и арктангенс, и как их можно использовать для нахождения неизвестного угла в прямоугольных треугольниках.

Давайте рассмотрим новый тип задачи по тригонометрии. В них интересно то, что они не решаются при помощи синусов, косинусов и тангенсов.

Задача. Найдите величину угла

L

в приведённом ниже треугольнике.

Что нам известно? Для

∠ L

мы знаем длины противолежащего и прилежащего катетов, значит, можем записать:

tg (L) = \frac{противоположный}{прилежащий} = \frac{35}{65}

Но это не поможет найти величину угла

L

. Мы в тупике!

Что нам нужно? Для решения такой задачи нам понадобится новый математический инструмент. Наши старые друзья синус, косинус и тангенс, не справляются с этой задачей. Они берут величину угла и выдают отношения сторон, но нам нужны функции, которые из известного значения отношения сторон вернёт величину соответствующего угла. Нам нужны обратные тригонометрические функции!

Обратные тригонометрические функции

Мы уже знаем об обратных действиях. Например, сложение и вычитание — это взаимно-обратные действия, точно так же как и деление с умножением. Каждое действие в этой паре будет противоположное второму.

В тригонометрии идея такая же. Обратные тригонометрические функции выполняют действие, противоположное «обычным» функциям. Например:

Арксинус $(\arcsin)$ ‍ выполняет действие, обратное синусу.
Арккосинус $(\arccos)$ ‍ выполняет действие, противоположное косинусу.
Арктангенс $(arctg)$ ‍ выполняет действие, противоположное тангенсу.

Таким образом, если вы знаете значение тригонометрического отношения, но не знаете величину угла, вы можете воспользоваться для его нахождения соответствующей обратной тригонометрической функцией.

Тригонометрические функции получают углы и выдают отношения сторон		Обратные тригонометрические функции получают соотношения сторон и выдают углы
$\sin (θ) = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза}$ ‍	$\to$ ‍	$\arcsin (\frac{противолежащий катет}{гипотенуза}) = θ$ ‍
$\cos (θ) = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза}$ ‍	$\to$ ‍	$\arccos (\frac{прилежащий катет}{гипотенуза}) = θ$ ‍
$tg (θ) = \frac{противолежащий катет}{прилежащий катет}$ ‍	$\to$ ‍	$arctg (\frac{противолежащий катет}{прилежащий катет}) = θ$ ‍

Обратите внимание!

Иногда, особенно в зарубежной литературе, можно встретить обозначение арксинуса в виде

\sin^{- 1} (x)

. Имейте в виду, что это не то же самое, что

\frac{1}{\sin (x)}

. Иными словами,

- 1

— это не показатель степени. В данном случае это обозначает обратную функцию. То же самое касается всех остальных обратных тригонометрических функций.

Возведение любого числа в

- 1

степень соответствует делению единицы на это число, то есть обратному значению данного числа. Например,

3^{- 1} = \frac{1}{3}

. В общем случае, если

a

не равно

0

, тогда

a^{- 1} = \frac{1}{a}

Однако в случае

\sin^{- 1} (x)

всё не так. Дело в том, что синус — это функция, а не число!

В общем виде, если вы видите

- 1

после названия функции, это, как правило, означает обратную функцию. То есть, например, если

f

— это функция, то

f^{- 1}

означает функцию, обратную функции

f

. Выражение

f^{- 1} (x)

означает значение обратной функции для аргумента

x

Функция	График
$\sin (x)$ ‍
$\sin^{- 1} (x)$ ‍ (тоже самое, что и $\arcsin (x)$ ‍)
$\frac{1}{\sin x}$ ‍ (тоже самое, что и $\csc (x)$ ‍)

В русскоязычной литературе обратный синус называется арксинусом и обозначается

\arcsin

, обратный косинус называется арккосинусом и обозначается

\arccos

, а обратный тангенс называется арктангенсом и обозначается

arctg

. Такая запись исключает неоднозначность.

Решение задач

В вводной задаче нам даны длины противолежащего и прилежащего катетов, поэтому мы можем воспользоваться функцией арктангенса.

\begin{aligned} ∠ L & = arctg (\frac{противолежащий катет}{прилежащий катет}) & Определение. \\ ∠ L & = arctg (\frac{35}{65}) & Подставляем значения. \\ ∠ L & \approx 28, 30^{\circ} & Вычисляем с помощью калькулятора. \end{aligned}

Теперь давайте попробуем решить задачи

Задача 1

Найдите $∠ I$ ‍ в приведённом ниже $△ K I P$ ‍.
Округлите ответ до сотых долей градуса.

^{\circ}

Задача 2

Найдите $∠ E$ ‍ в приведённом ниже $△ D E F$ ‍.
Округлите ответ до сотых долей градуса.

^{\circ}

Задача 3

Найдите $∠ Y$ ‍ в приведённом ниже $△ L Y N$ ‍.
Округлите ответ до сотых долей градуса.

^{\circ}

Задача

Найдите все неизвестные стороны и углы в данном треугольнике.
Округлите ответ до сотых.

O E =

m ∠ O =

^{\circ}

m ∠ Z =

^{\circ}

Хотите присоединиться к обсуждению?

Войти

Сортировать по:

Abdulla Azimov
Опубликовано 4 года назад. Прямая ссылка на Abdulla Azimov, пост “как получается разделив 8...”
как получается разделив 8 на 10, 53
Button navigates to signup pageButton navigates to signup page
(2 голоса)
Ответ

Знаете английский? Нажмите здесь, чтобы увидеть обсуждение, которое происходит на английской версии сайта.