Составляющие сил на наклонных поверхностях

Допустим, что тут есть некий блок, обладающий массой m, так что масса этого блока равна m. И он находится на какой-то наклонной плоскости. Вот она. Я изобразил ее здесь. Порассуждаем о том, что может происходить с этим блоком. Мы рассмотрим, как различные силы могут удерживать его на месте или, наоборот, не удерживать. Итак, если всё это находится вблизи поверхности Земли, и мы сделаем такое допущение для простоты в этом видео, сила гравитации будет притягивать массу блока к центру Земли и, наоборот, центр Земли притягивать к этой массе. Так что, есть сила гравитации. Я начну с центра тяжести вот здесь и вот здесь будет сила гравитации. Сила гравитации будет равна гравитационному полю вблизи поверхности Земли. Итак, сила гравитации равна гравитационному полю вблизи поверхности Земли. Обозначим ее как g. Это будет g умножить на массу. Массу умножить на гравитационное поле вблизи поверхности Земли. Сила будет направлена вниз, как мы знаем, или, по крайней мере, в направлении поверхности Земли. Что же ещё будет здесь происходить? Можно немного запутаться, так как нельзя сказать, что нормальная сила здесь действует прямо противоположно, потому что, напоминаю, нормальная сила действует перпендикулярно поверхности. Итак, здесь поверхность не перпендикулярна силе гравитации. Значит, нам нужно рассмотреть ситуацию немного иначе, чем в случае ненаклонной поверхности. Что мы можем и, более того, должны сделать — разложить вот эту силу, силу гравитации. Мы можем её разложить на компоненты, которые или перпендикулярны к поверхности, или параллельны ей. И затем можем их использовать, чтобы определить, что может произойти. Какие здесь могут быть результирующие или уравновешивающие друг друга силы. Давайте посмотрим, можем ли мы это определить, разложить вектор этой силы гравитации на компоненту, перпендикулярную поверхности склона, и на компоненту, параллельную поверхности склона. Я изображу это другим цветом. Этот вектор силы параллелен поверхности склона. Немного нестандартная нотация, но я всё же назову вот эту силу — силой гравитации, которая перпендикулярна склону. С помощью вот этой маленькой перевёрнутой буквы Т, я показываю, что сила направлена перпендикулярно. Поскольку можно представить, что показана линия, перпендикулярная другой. И этот голубой вектор я назову параллельной компонентой силы гравитации. Я рисую здесь две маленькие вертикальные черты, чтобы показать, что это сила, параллельная поверхности. Итак, это перпендикулярная параллельная компоненты силы гравитации. Применим немного знаний из геометрии, а также тригонометрии, допустив, что склон находится под углом к горизонтальной поверхности. Если бы вы измерили угол вот здесь, вы бы получили θ. В будущих видео мы рассмотрим простой вариант, например, угол 30° или 45°. Но давайте рассмотрим пока общий пример. Если это угол θ, давайте посмотрим, чему будут равны эти компоненты силы гравитации. Можем применить здесь знания из области геометрии. Я считаю, что это прямой угол. Делаю такое допущение. Если это прямой угол и мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180°, то вот эти углы и вот этот прямой угол в 90° должны давать сумму в 180°, и тогда это означает, что вот этот угол и вот этот угол должны составлять в сумме 90°. То есть, если это угол Θ, то вот этот угол будет равен 90 − Θ градусов. Также есть другой факт, который вы, возможно, помните из курса тригонометрии: если есть две параллельные линии и секущая линия между ними… Сейчас я изображу все это, предположу, что эта линия параллельна другой, что их пересекает секущая. Допустим, эта линия выглядит вот так. Мы знаем из базовой тригонометрии, что этот угол будет равен этому, как накрест лежащие углы. Доказательство этому можно найти в серии видео по геометрии. Надеюсь это понятно и вы можете даже посмотреть, как будут меняться углы с изменением секущей. Итак, при параллельных линиях этот угол похож на тот или, точнее, они равны. Этот угол будет равен той же величине, что и тот. Как мы можем здесь использовать это? Итак, эта линия перпендикулярна поверхности Земли. Я помечу её голубым цветом. И этот вектор силы, также перпендикулярный к поверхности Земли. Итак, эта линия и эта линия малинового цвета параллельны. Я могу даже записать на доске. Эта линия и эта параллельны. Если посмотреть так, вы увидите, что вот эта прямая может рассматриваться как секущая. Этот и этот углы равны, будучи накрест лежащими углами. Итак, этот угол и этот угол точно так же, как вот здесь. Просто пример выглядит более сложным, потому что есть много деталей. Но эти прямые параллельны. Вы можете видеть здесь секущую и два равных угла здесь и здесь. Этот угол равен 90 − Θ градусов. Этот — тоже будет равен 90 − Θ градусов. Теперь, зная всё это, можем ли мы определить, чему равен вот этот угол? Предполагаем, что жёлтый вектор силы, находящийся вот здесь, перпендикулярен поверхности наклонной плоскости или, точнее, перпендикулярен поверхности наклона. Итак, он перпендикулярен. Вот этот угол здесь равен 90 − Θ градусов. Чему будет равен этот угол? Помечу его зелёным. Чему же он будет равен? Этот угол плюс 90 − Θ градусов, плюс 90° должны составить в сумме 180°, или этот угол плюс 90 − Θ должен быть равен… Давайте я это запишу, чтобы вы не запутались. Назовём угол Х. Итак, Х + 90 − Θ + 90 градусов вот здесь должно равняться 180°. Можем вычесть 180° с двух сторон уравнения. Вычитаем 90 дважды, то есть180° и получаем, что Х − Θ равно 0, то есть Х = Θ. Поэтому вне зависимости от угла наклона, угол здесь сохранится. И теперь мы можем применять базовую тригонометрию для вычисления этой и этой компоненты силы гравитации. Чтобы вы лучше это поняли, я перемещу вектор силы вот сюда, вниз. Параллельную компоненту я перемещу сюда вверх. Можно видеть, что перпендикулярная плюс параллельная компоненты равны результирующей силе гравитации. И вы, возможно, также видите, что я здесь тем самым получил прямоугольный треугольник. Эта сторона параллельна наклонной поверхности, эта — перпендикулярна. Значит, можем применить базовую тригонометрию, чтобы вычислить модульные величины перпендикулярной и параллельной компонент гравитации. Посмотрим. Я изображу здесь величину перпендикулярной силы гравитации, точнее, компоненты, перпендикулярной склону, величину этого вектора… Немного странная нотация, но, на самом деле, это всего лишь указание на модульную величину вектора. Итак, величина вектора, делённая на гипотенузу данного прямоугольного треугольника. Что является гипотенузой этого прямоугольного треугольника? Гипотенузой является величина общей гравитационной силы, если можно так выразиться. И вы можете сказать, что это равно mg. Мы могли бы записать её вот так. Вот таким вот образом. Чему же это будет равняться? Если смотреть на этот прямой угол, есть прилегающая сторона, делённая на гипотенузу. Теперь вспоминаем. Обозначим это новым цветом. Итак, базовая тригонометрия. Косинус угла равен прилегающей стороне, делённой на гипотенузу. Так что, это равняется косинусу угла. Косинус угла Θ равняется прилегающей стороне, делённой на гипотенузу. Если умножить обе части на величину гипотенузы, то получается, что компонента вектора, перпендикулярная поверхности, равна модульной величине гравитационной силы. Гравитационной силы, умноженной на косинус угла Θ. Применим это знание на практике в следующем видео, на более конкретном случае, в цифрах. Нотация может усложнять восприятие, но вы увидите, что на самом деле всё довольно очевидно. Для параллельного вектора мы руководствуемся той же логикой. Если подумать о векторе, находящемся вот здесь, то модульная величина компоненты гравитационной силы, параллельной наклонной плоскости, делённая на модульную величину гравитационной силы, равную mg. Чему это будет равно? Итак, это противоположная сторона угла. Сторона, помеченная голубым, — это противоположная сторона по отношению к углу. И вот здесь величина, равная mg — это гипотенуза. Итак, противоположная сторона, делённая на гипотенузу. Синус угла равен противоположной стороне, делённой на гипотенузу. Будет равно синусу угла Θ. Или можно умножить обе части на модульную величину силы гравитации, получите, что параллельная наклону компонента гравитационной силы будет равна общей силе гравитации, умноженной на синус угла Θ. Итак, я повторю, параллельная наклону компонента гравитационной силы будет равна общей силе гравитации, умноженной на синус угла Θ. Умноженной на синус угла Θ. Надеюсь, вы поняли, откуда возникают такие вычисления, так как если вам понадобится это вывести снова, 30 лет спустя после окончания курса физики, вы должны уметь выводить это. Но если мы знаем вот это и это, мы можем начать раскладывать силы на части, удобные для решения. Потому что мы могли бы сказать, что вот этот объект не движется вниз по наклонной плоскости. Значит здесь, возможно, действует нормальная сила, которая полностью уравновешивает силу гравитации в данном примере. Возможно, ничего не поддерживает блок наверху и нет трения, поэтому этот предмет получит ускорение за счёт параллельной силы. Если вы забудете эти факты, подумайте, постарайтесь понять. Необязательно разбирать параллельные, секущие линии и так далее. Если бы это был угол, который уменьшился до 0, то мы бы рассуждали уже о плоской поверхности, и не было бы никакого наклона. Если бы этот угол уменьшился до 0, все силы действовали бы перпендикулярно поверхности. То есть, перпендикулярная сила была бы тем же самым, что и общая гравитационная сила. Потому, это именно косинус угла Θ, косинус нуля равен 1. Тогда эти силы были бы равны. Если бы это было 0, параллельная компонента силы гравитации тоже оказалась бы 0. Гравитация будет действовать только вниз, опять же, если синус угла равен 0, так что параллельная компонента силы гравитации будет равна 0. Если вы это забудете, просто подумайте, и вспомните, что является синусом, а что — косинусом. Subtitles by the Amara.org community