Единичная окружность

я здесь попыталась изобразить единичную окружность эта окружность называется единичной потому что ее радиус равен единице центра единичной окружности лежит в начале координат а расстояние от центра до любой точки на окружности равна единице какие координаты вот этой точки где окружность пересекает ось x и и x координата равна единице а y-координата нулю а какие координаты вот у этой точке мы переместились на единицу вверх от начала координат но не сдвинулись ни вправо ни влево значит x координата этой точки 0 а y-координата единица теперь рассмотрим вот эту точку здесь x координата равна минус единицы потому что мы сдвинулись на единицу влево вверх или вниз мы не сдвинулись значит y координата равна нулю теперь перейдем к нижней точке здесь мы сдвинулись на единицу вниз от начала координат но никуда не сдвинулись по горизонтали значит здесь x координаты ноль а y координаты минус единица с этим разобрались теперь давайте отложим некий угол но сначала определимся с понятием положительного угла я буду откладывать его от положительного направления оси x будем считать положительные направления оси x начальным положением угла и положительный угол мы будем откладывать в направлении против часовой стрелки именно такая договоренность обычно используется в математике соответственно отрицательные углы будут откладываться по часовой стрелке и так давайте отложим положительный угол он будет выглядеть примерно вот так оз x это начальная сторона и от неё я иду против часовой стрелки вот это у меня будет конечная страна определяющая положительный угол тета и меня будет интересовать пересечении к конечной стороны угла с единичной окружностью обозначим координаты этой точки a , b x координата точки пересечения равна а а y координата равна b в этом видео я хочу поговорить о том как единичной нужность поможет нам расширить привычные определения тригонометрических функций сделаем этот угол это частью прямоугольного треугольника для этого давайте опустим перпендикуляр из этой точки на ось x отметим что этот угол равен 90 градусам теперь угол тета стал частью вот этого прямоугольного треугольника давайте рассмотрим стороны этого прямоугольного треугольника и первый мой вопрос к вам чему равна гипотенуза этого треугольника что я построила гипотенуза равна радиусу единичной окружности ее радиус единица значит гипотенуза тоже равна единица чему равна длина вот этого катета противолежащего катета к углу тета длина этого катета равняется y координаты точки пересечения то есть б y координата равна b значит и этот катет равен b по той же логике чему равна длина основания этого треугольника она равна x координаты точки пересечения мы опускаем из нее перпендикуляр а значит длина вот этого отрезка равна а теперь давайте выясним чему равен синус угла тета зная значение a b и других чисел которые нам могут для этого понадобится для этого вспомним определение тригонометрических функций в частности косинус угла это отношение прилежащего катета к гипотенузе в нашем случае прилежащий катет к углу тета равен а а чему равна длина гипотенузы она равна единице получается что косинус угла тета равен просто а то есть он равен x координаты точки пересечения к конечной стороны угла с единичной окружностью теперь рассмотрим синус тета чему равен синус тета по определению синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе длина противолежащего катета равна b а гипотенуза равна единице получается что синус тета равен b смотрите как интересно выходит точка пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью и имеет координаты а.б. и а здесь равно косинуса угла тета а b равно синусу тетта этот интересный результат мы получили из определения синуса и косинуса для прямоугольных треугольников но это определение имеет один изъян она имеет смысл только для углов величина которых больше нуля но меньше 90 градусов мы всегда можем построить прямоугольный треугольник с таким углом но это определение перестает работать когда угол меньше или равен нулю градусов или больше или равен 90 нельзя построить прямоугольный треугольник с двумя прямыми углами давайте поясню возьмем произвольный прямоугольный треугольник вот этот угол у него очень большой я могу построить другой прямоугольный треугольник где этот угол будет еще больше и еще больше но он никогда не станет равным 90 градусам такого прямоугольного треугольника не бывает наше определение рушится она имеет смысл только для углов меньше 90 градусов давайте придумаем новое определение тригонометрической функции которые расширит имеющиеся и не будет ему противоречить мы привыкли что синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе косинус это отношение прилежащего катета к гипотенузе а тангенс это отношение противолежащего катета к прилежащему давайте теперь представим что мы можем отложить любой угол используя упомянутую мною договоренность и скажем что косинус этого угла будет равен x координаты точки пересечения конечной стороны угла с единичной окружностью а синус угла определим как y координату пересечении конечной стороны с единичной окружностью таким образом координаты вот этой точки для произвольного угла будут определять косинус и синус угла тета как мы в таком случае определим тангенс тетта из привычного нам определения следует что тангенс равен отношению синуса к косинусу значит в нашем случае это будет равно отношению y координаты точки пересечения с единичной окружности к ее x координате следующих видео я разберу несколько примеров где мы рассмотрим привычные нам тригонометрические отношения с точки зрения единичной окружности спасибо что подписывайтесь на наш канал нам очень важно знать ваше мнение если у вас возникают вопросы касательно данного видеоролика то не стесняйтесь задавать их в комментариях мы с удовольствием на них постараемся ответить